Полная мощность. Полезная мощность Как найти мощность полезную формулы

(12.11)

Коротким замыканием называется режим работы цепи, при котором внешнее сопротивление R = 0. При этом

(12.12)

Полезная мощность Р а = 0.

Полная мощность

(12.13)

График зависимости Р а (I ) – парабола, ветви которой направлены вниз (рис12.1). На этом же рисунке показаны зависимость КПД  от силы тока.

Примеры решения задач

Задача 1. Батарея состоит из n = 5 последовательно соединённых элементов с Е = 1,4 В и внутренним сопротивлением r = 0,3 Ом каждый. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Какова наибольшая полезная мощность батареи?

Дано: Решение

n = 5 При последовательном соединении элементов ток в цепи

Е = 1,4 В
(1)

Р а = 8 Вт Из формулы полезной мощности
выразим

внешнее сопротивление R и подставим в формулу (1)

I - ?
-?

после преобразований получим квадратное уравнение, решая которое, найдём значение токов:

А; I 2 = A.

Итак, при токах I 1 и I 2 полезная мощность одинакова. При анализе графика зависимости полезной мощности от тока видно, что при I 1 потери мощности меньше и КПД выше.

Полезная мощность максимальна при R = n r ; R = 0,3
Ом.

Ответ : I 1 = 2 A; I 2 = A;P amax =Вт.

Задача 2. Полезная мощность, выделяемая во внешней части цепи, достигает наибольшего значения 5 Вт при силе тока 5 А. Найти внутреннее сопротивление и ЭДС источника тока.

Дано: Решение

P amax = 5 Вт Полезная мощность
(1)

I = 5 A по закону Ома
(2)

Полезная мощность максимальна при R = r , то из

r - ? Е - ? формулы (1)
0,2 Ом.

Из формулы (2) В.

Ответ: r = 0,2 Ом; Е = 2 В.

Задача 3. От генератора, ЭДС которого равна 110В, требуется передать энергию на расстояние 2,5 км по двухпроводной линии. Потребляемая мощность равна 10 кВт. Найти минимальное сечение медных подводящих проводов, если потери мощности в сети не должны превышать 1 %.

Дано: Решение

Е = 110 В Сопротивление проводов

l = 510 3 м где  - удельное сопротивление меди; l – длина проводов;

Р а = 10 4 Вт S – сечение.

 = 1,710 -8 Ом. м Потребляемая мощность P a = I E , мощность, теряемая

Р пр = 100 Вт в сети P пр = I 2 R пр , а так как в пороводах и потребителе

S - ? ток одинаковый, то

откуда

Подставив числовые значения, получим

м 2 .

Ответ: S = 710 -3 м 2 .

Задача 4. Найти внутреннее сопротивление генератора, если известно, что мощность, выделяемая во внешней цепи, одинакова при двух значениях внешнего сопротивления R 1 = 5 Ом и R 2 = 0,2 Ом. Найти КПД генератора в каждом из этих случаев.

Дано: Решение

Р 1 = Р 2 Мощность, выделяемая во внешней цепи, P a = I 2 R . По закону Ома

R 1 = 5 Ом для замкнутой цепи
тогда
.

R 2 = 0,2 Ом Используя условие задачи Р 1 = Р 2 , получим

r -?

Преобразуя полученное равенство, находим внутреннее сопротивление источника r :

Ом.

Коэффициентом полезного действия называется величина

где Р а – мощность, выделяемая во внешней цепи; Р – полная мощность.

Ответ: r = 1 Ом; = 83 %;= 17 %.

Задача 5. ЭДС батареи Е = 16 В, внутреннее сопротивление r = 3 Ом. Найти сопротивление внешней цепи, если известно, что в ней выделяется мощность Р а = 16 Вт. Определить КПД батареи.

Дано : Решение

Е = 16 В Мощность, выделяемая во внешней части цепи Р а = I 2 R .

r = 3 Ом Силу тока найдём по закону Ома для замкнутой цепи:

Р а = 16 Вт тогда
или

- ? R - ? Подставляем числовые значения заданных величин в это квадратное уравнение и решаем его относительно R :

Ом; R 2 = 9 Ом.

Ответ: R 1 = 1 Ом; R 2 = 9 Ом;

Задача 6. Две электрические лампочки включены в сеть параллельно. Сопротивление первой лампочки 360 Ом, сопротивление второй 240 Ом. Какая из лампочек поглощает большую мощность? Во сколько раз?

Дано : Решение

R 1 = 360 Ом Мощность, выделяемая в лампочке,

R 2 = 240 Ом P = I 2 R (1)

- ? При параллельном соединении на лампочках будет одинаковое напряжение, поэтому сравнивать мощности лучше, преобразовав формулу (1) используя закон Ома
тогда

При параллельном соединении лампочек большая мощность выделяется в лампочке с меньшим сопротивлением.

Ответ:

Задача 7. Два потребителя сопротивлениями R 1 = 2 Ом и R 2 = 4 Ом подключаются к сети постоянного тока первый раз параллельно, а второй – последовательно. В каком случае потребляется большая мощность от сети? Рассмотреть случай, когда R 1 = R 2 .

Дано: Решение

R 1 = 2 Ом Потребляемая от сети мощность

R 2 = 4 Ом
(1)

- ? где R – общее сопротивление потребителей; U – напряжение в сети. При параллельном соединении потребителей их общее сопротивление
а при последовательномR = R 1 + R 2 .

В первом случае, согласно формуле (1), потребляемая мощность
а во втором
откуда

Таким образом, при параллельном подключении нагрузок потребляется большая мощность от сети, чем при последовательном.

При

Ответ:

Задача 8. . Нагреватель кипятильника состоит из четырёх секций, сопротивление каждой секции R = 1 Ом. Нагреватель питается от аккумуляторной батареи с Е = 8 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Как следует подключить элементы нагревателя, чтобы вода в кипятильнике нагрелась в максимально короткий срок? Каковы при этом полная мощность, расходуемая аккумулятором, и его КПД?

Дано:

R 1 = 1 Ом

Е = 8 В

r = 1 Ом

Решение

Максимальную полезную мощность источник даёт в случае, если внешнее сопротивление R равно внутреннему r .

Следовательно, чтобы воданагрелась в максимально короткий срок, нужно секции включить так,

чтобы R = r . Это условие выполняется при смешанном соединении секций (рис.12.2.а,б).

Мощность, которую расходует аккумулятор, равна Р = I E . По закону Ома для замкнутой цепи
тогда

Вычислим
32 Вт;

Ответ: Р = 32 Вт;  = 50 %.

Задача 9*. Ток в проводнике сопротивлением R = 12 Ом равномерно убывает от I 0 = 5 А до нуля в течение времени  = 10 с. Какое количество теплоты выделяется в проводнике за это время?

Дано:

R = 12 Ом

I 0 = 5 А

Q - ?

Решение

Так как сила тока в проводнике изменяется, то для подсчёта количества теплоты формулой Q = I 2 R t воспользоваться нельзя.

Возьмём дифференциал dQ = I 2 R dt , тогда
В силу равномерности изменения тока можно записатьI = k t , где k – коэффициент пропорциональности.

Значение коэффициента пропорциональности k найдём из условия, что при  = 10 с ток I 0 = 5 А, I 0 = k  , отсюда

Подставим числовые значения:

Дж.

Ответ: Q = 1000 Дж.

8.5. Тепловое действие тока

8.5.2. Коэффициент полезного действия источника тока

Коэффициент полезного действия источника тока ( КПД ) определяется долей полезной мощности от полной мощности источника тока:

где P полезн - полезная мощность источника тока (мощность, выделяющаяся во внешней цепи); P полн - полная мощность источника тока:

P полн = P полезн + P потерь,

т.е. суммарная мощность, выделяющаяся во внешней цепи (P полезн) и в источнике тока (P потерь).

Коэффициент полезного действия источника тока (КПД) определяется долей полезной энергии от полной энергии, вырабатываемой источником тока:

η = E полезн E полн ⋅ 100 % ,

где E полезн - полезная энергия источника тока (энергия, выделяющаяся во внешней цепи); E полн - полная энергия источника тока:

E полн = E полезн + E потерь,

т.е. суммарная энергия, выделяющаяся во внешней цепи (E полезн) и в источнике тока (E потерь).

Энергия источника тока связана с мощностью источника тока следующими формулами:

энергия, выделяющаяся во внешней цепи (полезная энергия) за время t , связана с полезной мощностью источника P полезн -

E полезн = P полезн t ;

энергия, выделяющаяся в источнике тока (энергия потерь) за время t , связана с мощностью потерь источника P потерь -

E потерь = P потерь t ;

полная энергия , вырабатываемая источником тока за время t , связана с полной мощностью источника P полн -

E полн = P полн t .

Коэффициент полезного действия источника тока (КПД) может определяться:

долей, которую составляет сопротивление внешней цепи от суммарного сопротивления источника тока и нагрузки (внешней цепи), -

η = R R + r ⋅ 100 % ,

где R - сопротивление цепи (нагрузки), к которой подключен источник тока; r - внутреннее сопротивление источника тока;

долей, которую составляет разность потенциалов на клеммах источника от его электродвижущей силы, -

η = U ℰ ⋅ 100 % ,

где U - напряжение на зажимах (клеммах) источника тока; ℰ - ЭДС источника тока.

При максимальной мощности , выделяющейся во внешней цепи, КПД источника тока равен 50 %:

так как в этом случае сопротивление нагрузки R равно внутреннему сопротивлению r источника тока:

η * = R R + r ⋅ 100 % = r r + r ⋅ 100 % = r 2 r ⋅ 100 % = 50 % .

Пример 16. При подключении источника тока с КПД 75 % к некоторой цепи на ней выделяется мощность, равная 20 Вт. Найти количество теплоты, выделившееся в источнике тока за 10 мин.

Решение . Проанализируем условие задачи.

Мощность, выделяющаяся во внешней цепи, является полезной:

P полезн = 20 Вт,

где P полезн - полезная мощность источника тока.

Количество теплоты, которое выделяется в источнике тока, связано с мощностью потерь:

Q потерь = P потерь t ,

где P потерь - мощность потерь; t - время работы источника тока.

КПД источника связывает полезную и полную мощности:

η = P полезн P полн ⋅ 100 % ,

где P полн - полная мощность источника тока.

Полезная мощность и мощность потерь в сумме дают полную мощность источника тока:

P полн = P полезн + P потерь.

Записанные уравнения образуют систему уравнений:

η = P полезн P полн ⋅ 100 % , Q потерь = P потерь t , P полн = P полезн + P потерь. }

Для нахождения искомой величины - количества теплоты, выделившейся в источнике Q потерь, - необходимо определить мощность потерь P потерь. Выполним подстановку третьего уравнения в первое:

η = P полезн P полезн + P потерь ⋅ 100 %

и выразим P потерь:

P потерь = 100 % − η η P полезн.

Подставим полученную формулу в выражение для Q потерь:

Q потерь = 100 % − η η P полезн t .

Рассчитаем:

Q потерь = 100 % − 75 % 75 % ⋅ 20 ⋅ 10 ⋅ 60 = 4,0 ⋅ 10 3 Дж = 4,0 кДж.

За указанное в условии задачи время в источнике выделится 4,0 кДж теплоты.

При подключении электроприборов к электросети обычно имеет значение только мощность и КПД самого электроприбора. Но при использовании источника тока в замкнутой цепи важна полезная мощность, которую он выдаёт. В качестве источника могут применяться генератор, аккумулятор, батарея или элементы солнечной электростанции. Для расчётов это принципиального значения не имеет.

Параметры источника питания

При подключении электроприборов к электропитанию и создании замкнутой цепи, кроме энергии Р, потребляемой нагрузкой, учитываются следующие параметры:

Роб. (полная мощность источника тока), выделяемая на всех участках цепи;
ЭДС – напряжение, вырабатываемое элементом питания;
Р (полезная мощность), потребляемая всеми участками сети, кроме источника тока;
Ро (мощность потерь), потраченная внутри батареи или генератора;
внутреннее сопротивление элемента питания;
КПД источника электропитания.

Внимание! Не следует путать КПД источника и нагрузки. При высоком коэффициенте батареи в электроприборе он может быть низким из-за потерь в проводах или самом устройстве, а также наоборот.

Об этом подробнее.

Полная энергия цепи

При прохождении электрического тока по цепи выделяется тепло, или совершается другая работа. Аккумулятор или генератор не являются исключением. Энергия, выделенная на всех элементах, включая провода, называется полной. Она рассчитывается по формуле Роб.=Ро.+Рпол., где:

Роб. – полная мощность;
Ро. – внутренние потери;
Рпол. – полезная мощность.

Внимание! Понятие о полной мощности используется не только в расчётах полной цепи, но также в расчетах электродвигателей и других устройств, потребляющих вместе с активной реактивную энергию.

ЭДС, или электродвижущая сила, – напряжение, вырабатываемое источником. Измерить его можно только в режиме Х.Х. (холостого хода). При подключении нагрузки и появлении тока от значения ЭДС вычитается Uо. – потери напряжения внутри питающего устройства.

Полезная мощность

Полезной называют энергию, выделенную во всей цепи, кроме питающего устройства. Она высчитывается по формуле:

“U” – напряжение на клеммах,
“I” – ток в цепи.

В ситуации, при которой сопротивление нагрузки равно сопротивлению источника тока, она максимальна и равна 50% полной.

При уменьшении сопротивления нагрузки ток в цепи растёт вместе с внутренними потерями, а напряжение продолжает падать, и при достижении нуля ток будет максимальным и ограниченным только Rо. Это режим К.З. – короткого замыкания. При этом энергия потерь равна полной.

При росте сопротивления нагрузки ток и внутренние потери падают, а напряжение растёт. При достижении бесконечно большой величины (разрыве сети) и I=0 напряжение будет равно ЭДС. Это режим Х..Х. – холостого хода.

Потери внутри источника питания

Аккумуляторы, генераторы и другие устройства имеют внутреннее сопротивление. При протекании через них тока выделяется энергия потерь. Она рассчитывается по формуле:

где “Uо” – падение напряжения внутри прибора или разница между ЭДС и выходным напряжением.

Внутреннее сопротивление источника питания

Для расчёта потерь Ро. необходимо знать внутреннее сопротивление устройства. Это сопротивление обмоток генератора, электролита в аккумуляторе или по другим причинам. Замерить его мультиметром не всегда возможно. Приходится пользоваться косвенными методами:

при включении прибора в режиме холостого хода замеряется Е (ЭДС);
при подключенной нагрузке определяются Uвых. (выходное напряжение) и ток I;
рассчитывается падение напряжения внутри устройства:

вычисляется внутреннее сопротивление:

Полезная энергия Р и КПД

В зависимости от конкретных задач, необходима максимальная полезная мощность Р или максимум КПД. Условия для этого не совпадают:

Р максимальна при R=Ro, при этом КПД = 50%;
КПД 100% в режиме Х.Х., при этом Р=0.

Получение максимальной энергии на выходе питающего устройства

Максимум Р достигается при условии равенства сопротивлений R (нагрузки) и Ro (источника электроэнергии). В этом случае КПД = 50%. Это режим “согласованной нагрузки”.

Кроме него возможны два варианта:

Сопротивление R падает, ток в цепи увеличивается, при этом растут потери напряжения Uo и Ро внутри устройства. В режиме К.З. (короткого замыкания) сопротивление нагрузки равно “0”, I и Ро максимальны, а КПД также 0%. Этот режим опасен для аккумуляторов и генераторов, поэтому не используется. Исключение составляют практически вышедшие из употребления сварочные генераторы и автомобильные аккумуляторы, которые при запуске двигателя и включении стартёра работают в режиме, близком к “К.З.”;
Сопротивление нагрузки больше внутреннего. В этом случае ток и мощность нагрузки Р падают, и при бесконечно большом сопротивлении они равны “0”. Это режим Х.Х. (холостого хода). Внутренние потери в режиме, близком к Х.Х., очень малы, и КПД близок к 100%.

Следовательно, “Р” максимальна при равенстве внутреннего и внешнего сопротивлений и минимальна в остальных случаях за счёт высоких внутренних потерь при К.З и малого тока в режиме Х.Х.

Режим максимальной полезной мощности при эффективности 50% применяется в электронике при слабых токах. Например, в телефонном аппарате Рвых. микрофона – 2 милливатта, и важно максимально передать её в сеть, жертвуя при этом КПД.

Достижение максимального КПД

Максимальная эффективность достигается в режиме Х.Х. за счёт отсутствия потерь мощности внутри источника напряжения Ро. При росте тока нагрузки КПД линейно уменьшается и в режиме К.З. равен “0”. Режим максимальной эффективности используется в генераторах электростанций, где согласованная нагрузка, максимальная полезная Ро и КПД 50% неприменимы из-за больших потерь, составляющих половину всей энергии.

Коэффициент полезного действия нагрузки

Эффективность электроприборов не зависит от батареи и никогда не достигает 100%. Исключение составляют кондиционеры и холодильники, работающие по принципу теплового насоса: охлаждение одного радиатора происходит за счёт нагрева другого. Если не учесть этот момент, то КПД получается выше 100%.

Энергия расходуется не только на выполнение полезной работы, но и на нагрев проводов, трение и другие виды потерь. В светильниках, кроме КПД самой лампы, следует обратить внимание на конструкцию отражателя, в нагревателях воздуха – на эффективность нагрева помещения, а в электродвигателях – на cos φ.

Знание полезной мощности элемента электропитания необходимо для выполнения расчётов. Без этого невозможно достичь максимальной эффективности работы всей системы.

Видео

Рассмотрим замкнутую неразветвленную цепь, состоящую из источника тока и резистора.

Применим закон сохранения энергии ко всей цепи:

Так как , а для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают, мощность электрических сил в замкнутой цепи равна нулю . Это равносильно утверждению о потенциальности электрического поля постоянного тока, о которой уже упоминалось ранее.

Итак, в замкнутой цепи всё тепло выделяется за счет работы сторонних сил: , или , и мы снова приходим к закону Ома, теперь для замкнутой цепи: .

Полной мощностью цепи называют мощность сторонних сил, она же равна полной тепловой мощности:

Полезной называют тепловую мощность, выделяемую во внешней цепи (независимо от того, полезна она или вредна в данном конкретном случае):

Роль электрических сил в цепи . Во внешней цепи, на нагрузке R , электрические силы совершают положительную работу, а при перемещении заряда внутри источника тока – такую же по величине отрицательную. Во внешней цепи теплота выделяется за счет работы электрического поля. Работу, отданную во внешней цепи, электрическое поле «возвращает» себе внутри источника тока. В итоге вся теплота в цепи «оплачена» работой сторонних сил: источник тока постепенно теряет запасенную в нем химическую (или какую-то другую) энергию. Электрическое же поле играет роль «курьера», доставляющего энергию во внешнюю цепь.

Зависимость полной, полезной мощностей и КПД от сопротивления нагрузки R .

Эти зависимости получаем из формул (1 – 2) и закона Ома для полной цепи:

Графики этих зависимостей вы видите на рисунке.

Полная мощность монотонно убывает с ростом , т.к. убывает сила тока в цепи. Максимальная полная мощность выделяется при , т.е. при коротком замыкании . Источник тока совершает максимальную работу за единицу времени, но вся она идет на нагревание самого источника. Максимальная полная мощность равна

Полезная мощность имеет максимум при (в чем вы можете убедиться, взяв производную от функции (5) и приравняв ее нулю). Подставив в выражение (5) , найдем максимальную полезную мощность.