Критерии выбора стратегии в условиях риска. Выбор оптимальной стратегии по инвестиционному проекту в условиях риска и неопределенности. Позиции и действия

Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска).

Критерий Гурвица.

Решение.

1. Максиминный критерий Вальда .max min а ij

Вычислим минимальные значения по строкам min а ij , а далее из них выберем максимальное.

Таким образом, получаем Н =max min а ij = 15 i j

Ответ: оптимальной стратегией 1-го игрока А является

стратегия А 4 .

Параметр Гурвица возьмем равным γ =0,6: γ= min а ij +(1-γ) max а ij

5 10 18 255 25 5*0,6+0,4*25=13

А = 8 7 8 23 7 23 7*0,6+0,4*23=13,4

21 18 12 21 12 18 12*0,6+0,4*18=14,4

20 22 19 1515 22 15*0,6+0,4*22=17,8

Получаем H =max=17.8

стратегия А 4 .

Необходимо построить матрицу рисков.

Для этого:

1) вычислить максимальные значения по столбцам

2) вычислить матрицу рисков: r ij = max а ij - а ij

21-5 22-10 19-18 25-25 16 12 1 0

r ij = 21-8 22-7 19-8 25-23 = 13 15 11 2

21-21 22-18 19-12 25-21 0 4 7 4

21-20 22-22 19-19 25-15 1 0 0 10

3) вычислить максимальные значения по строкам и из них выберем строку с минимальным значением:

r ij = 0 4 7 4 7

Получаем H =minmax r ij = 7 при применении стратегии А 3 .

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А 3 .

4. Критерий Лапласа. n

Вычислить средние арифметические по строкам [ 1/n ∑ а ij ]

5 10 18 25 0.25 (5+10+18+25)=14.5 j =1

A = 8 7 8 23 0.25 (8+7+8+23)=11.5

21 18 12 21 0.25 (21+18+12+21)=18

20 22 19 15 0.25 (20+22+19+15)=19

Получаем H =max [ 1/n ∑ а ij ] =19 при применении стратегии А 4 .

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А 4 .

В 1 В 2 В 3 В 4 n

А 1 5 10 18 25 H =max∑P j а ij

А 2 8 7 8 23 i j =1

А 3 21 18 12 21

А 4 20 22 19 15

Вероятности стратегий второго игрока.

В 1	В 2	В 3	В 4
0.2	0.15	0.35	0.3

5*0.2+10*0.15+18*0.35+25*0.3=16.30

8*0.2+7*0.15+8*0.35+23*0.3=12.35

21*0.2+18*0.15+12*0.35+21*0.3=17.40

20*0.2+22*0.15+19*0.35+15*0.3=18.45

Получаем Н = 18,45 при применении стратегии А 4 .

Ответ: оптимальной стратегией первого игрока является

стратегия А 4 .

ПРИМЕР №2

Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной продукции А 1 , А 2 , А 3 . Не проданная в течении сезона продукция позже реализуется по сниженной цене. Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице:

Требуется:

1) придать описанной ситуации игровую схему, указать допустимые стратегии сторон, составить платежную матрицу

Указание. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков:

повышенный, средний или пониженный.

В игре участвуют 2 игрока: А - производитель, В - потребитель.

Игрок А стремится реализовать свою продукцию так, чтобы получить максимальную прибыль. Стратегиями игрока А являются:

А 1 - продавать продукцию при повышенном состоянии спроса

А 2 - продавать продукцию при среднем состоянии спроса

А 3 - продавать продукцию при пониженном состоянии спроса

Игрок В стремится приобрести продукцию с минимальными затратами. Стратегиями игрока В являются:

В 1 - покупать продукцию при повышенном состоянии спроса

В 2 - покупать продукцию при среднем состоянии спроса

В 3 - покупать продукцию при пониженном состоянии спроса

Интересы игроков А и В - противоположны. Определим цену продукции в течение сезона и после уценки:

Рассчитаем элементы платежной матрицы

Предложение	Спрос
стратегии	Повышенный спрос 14+38+24	Средний спрос 8+22+13	Пониженный спрос 5+9+7
Повышенный спрос 14+38+24	14*0,8+38*0,5+ 24*1,3=61,4	8*0,8+(14-8) *0,2+ 22*0,5+(38-22)*(-5) +13*1,3+(24-13)*0,2 =29,7	5*0,8+(14-5)*0,2+ 9*0,5+(38-9)*(-5)+ 7*1,3+(24-7)=8,3
Средний спрос 8+22+13	8*0,8+22*0,5+ 13*1,3=34,3	8*0,8+22*0,5+ 13*1,3=34,3	5*0,8+(8-5)*0,2+ 9*0,5+(22-9)*(-5)+ 7*1,3+(13-7)*0,2 =12,9
Пониженный спрос 5+9+7	5*0,8+9*0,5+7*1,3 =17,6	5*0,8+9*0,5+ 7*1,3=17,6	5*0,8+9*0,5+ 7*1,3=17,6

Платежная матрица примет вид

Стратегии	В 1	В 2	В 3	α i =min а ij j
А 1	61.4	29.7	8.3	8.3
А 2	34.3	34.3	12.9	12.9
А 3	17.6	17.6	17.6	17.6
β j =max а ij i	61.4	34.3	17.6

α = max α i = 17.6 β = min β j = 17.6

Так как α = β = ν = 17,6, то найдена седловая точка. Значит оптимальное решение: А 3 ; В 3

Производитель (игрок А) получит гарантированную прибыль в размере 17,6 ден.ед., если будет реализовывать свою продукцию при пониженном уровне спроса в объеме 5,9 и 7 ед. соответственно продукции А 1 , А 2 и А 3

Контрольные вопросы:

1.Дайте определение конфликтной ситуации.

2.Как называется математическая модель конфликтной ситуации?

3.Как называются заинтересованные стороны в теории игр?

4.Какая игра называется антагонистической? Приведите пример.

5.Дайте определение понятию «стратегия».

6.Что понимается под исходом конфликта?

7.Дайте определение понятию «выигрыш».

8.На какие классы делятся игры в зависимости от числа игроков?

9.В чем состоит цель игрока А при выборе стратегии?

10. В чем состоит суть максиминного принципа оптимальности и как называется выигрыш, полученный в соответствии в этим принципом?

11.Почему максимин α называют нижней ценой игры?

12.В чем состоит цель игрока В при выборе стратегии?

13.Почему минимакс β называют верхней ценой игры?

14.Почему справедливо неравенство α < β ?

15.Дайте определение цены игры в чистых стратегиях.

16.Какая игра называется игрой в смешанных стратегиях?

17.Как найти оптимальную смешанную стратегию игрока А и цену игры 2 х n геометрически?

18.Что в теории игр понимается под термином «природа»?

19.Приведите примеры в которых решение принимается в условиях неопределенности, связанной с неосознанным принятием различных факторов.

20.Чем отличается выбор оптимальных стратегий игроков в играх с природой от антагонистических игр?

21.Что понимается под риском игрока в игре с природой, и каким образом формируется матрица рисков,

22.Дайте определение критерия Вальда и как по нему определяется выигрыш?

23. Дайте определение критерия Севиджа и как по нему определяется выигрыш?

24. Дайте определение критерия Лапласа и как по нему определяется выигрыш?

25. Дайте определение критерия Байеса и как по нему определяется выигрыш?

26. Какой принцип выбора оптимальной стратегии лежит в основе критерия пессимизма –оптимизма Гурвица относительно выигрышей?

8.Лекция. Системы массового обслуживания.

Для выбора некоторой стратегии ОС должна иметь возможность оценить насколько она хороша или плоха. Так как результаты операции оцениваются критерием операции, то и оценка эффективности основывается на этой функции. Оценки эффективности могут быть различными в зависимости как от информации, которой обладает ОС, так и от субъективных решений ОС.

В случае принятия решения в условиях определенности критерий операции имеет вид f: XR, т.е. зависит только от контролируемых факторов, характеризует достижение цели одним числом, и при этом наибольшему достижению цели соответствует максимальное (минимальное) значение функции f. Тогда оптимальной будет такая стратегия x * Х, которая доставляет максимум (минимум) функции f;

В случае, когда в операции присутствуют неконтролируемые факторы (Y, Z) ОС оценить свою стратегию становится значительно труднее. Существует несколько разумных способов оценки стратегий и ОС необходимо выбрать один из них, либо некоторую комбинацию критериев.

Оценка эффективности стратегий в условиях неопределенности

Рассмотрим случай, когда Z , то есть нет случайных факторов, и m= 1

Тогда наиболее распространенными являются следующие способы оценки эффективности стратегий.

Принцип наилучшего гарантированного результата (критерий Вальда). Предполагается, что для каждой стратегии хX ОС будет реализовываться наиболее плохой для ОС неопределенный фактор уY. Так, если цель ОС максимизировать «выигрыш» f(x,y), то любая стратегия хX оценивается величиной

Оценку W 1 (х) (3) называют еще оценкой крайнего пессимизма. Таким образом, в рассматриваемом случае величина W 1 (x) оценивает «выигрыш» ОС снизу, то есть, выбрав стратегию хX, ОС получит «выигрыш» f(x,y) не меньший, чем W 1 (x), какое бы уY не реализовалось. Иными словами, при применении стратегии х ОС гарантировано получит выигрыш не меньший величины W 1 (х). Оптимальной по этому критерию будет стратегия x 0 , доставляющая максимум функции W 1 (х) на множестве X.

Применение принципа наилучшего гарантированного результата обосновано, когда выбор неопределенного фактора уY осуществляет разумный противник, ставящий своей целью уменьшение «выигрыша» ОС.

В случае, когда ОС стремится минимизировать величину f(x,y), вместо оценки W 1 (x) (3) применяется аналогичная оценка

Соответственно

Если ОС не противостоит разумный противник, применение принципа наилучшего гарантированного результата может показаться сильно «пессимистичным». В этих случаях говорят об «играх с природой». Неконтролируемые факторы выбирает «природа», основываясь на своих, неизвестных ОС, целях. Однако, нет оснований предполагать, что «природа» старается навредить ОС. Наиболее известными в данной ситуации являются критерии Лапласа, Сэвиджа и Гурвица.

Критерий Лапласа. Этот критерий основывается на следующем принципе недостаточного обоснования. Поскольку распределение вероятностей на неопределенных факторах неизвестно, то принимаем, что это распределение является распределением равномерного закона.

Еще раз напомним, что в рассматриваемых случаях ОС не противостоит разумный противник, который выбирает неконтролируемый фактор с целью максимально ухудшить результат операции для ОС.

Критерий Лапласа оценивает стратегию хX величиной математического ожидания выигрыша ОС при равномерном законе распределения вероятностей неконтролируемых факторов. Оптимальной по этому критерию считается стратегия, доставляющая максимум (если нужно максимизировать целевую функцию) математическому ожиданию целевой функции

Здесь - функция плотности распределения вероятностей равномерного закона; p i - вероятность того, что неконтролируемый фактор примет значение y i . При этом

Первая формула применяется в случае непрерывной случайной величины y. Вторая формула для конечного множества Y={y 1 ,…,y m }.

Пример 3. Предприятие должно определить уровень предложения услуг так, чтобы удовлетворить потребность клиентов в течение предстоящих праздников. Точное число клиентов неизвестно, но оно может принимать одно из четырех значений: y 1 =200, y 2 =250, y 3 =300, y 4 =350. Для каждого из этих возможных значений существует наилучший уровень предложения (x 1, …,x 4) с точки зрения минимизации затрат. Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения предложения над спросом, либо из-за неполного удовлетворения спроса (дополнительные расходы из-за необходимости срочных закупок, упущенная прибыль).

Стратегию x 1 , то при худшем для него варианте y=y 1 затраты возрастут по сравнению с гарантированным результатом на 1%, а при благоприятном варианте затраты составят только 0.9% от гарантированных затрат, т.е. уменьшатся на 99.1%.

Учесть подобные ситуации и реализовать выбор стратегии, дающей возможно небольшой проигрыш, но и возможно существенный выигрыш по сравнению со стратегией гарантированного результата, позволяет критерий Сэвиджа. Пусть целевая функция f(x,y) есть функция выигрыша ОС. Следовательно, ОС стремится максимизировать целевую функцию. Составим функцию сожаления:

Величина выражает «сожаление» ОС в том, что она для данного неопределенного фактора y выбрала стратегию x, а не лучшую стратегию

Функцию называют также функцией риска. Затем для функции применяется критерий наилучшего гарантированного результата, то есть оптимальное х 0 ищется следующим образом. Для каждого контролируемого фактора хX

В случае, когда в модели операции задана функция потерь (проигрыша), функция сожаления будет иметь вид

и опять выражает «сожаление» ОС о том, что она для данного неопределенного фактора yY применила стратегию x, a не лучшую стратегию:

Функция сожаления и в случае функции выигрыша f (формула (5)) и в случае функции потерь f (формула (7)) выражает величину потерь ОС от неприменения лучшей стратегии. Поэтому критерий наилучшего гарантированного результата в обоих случаях является минимаксным:

Составим матрицу сожаления для приведенного в начале пункта примера. Так как функция f(i, j) в данном примере есть функция потерь, то

Функцию 2 (i, j) запишем в виде матрицы S сожалений:

Теперь из критерия наилучшего гарантированного результата для матрицы S получаем, что оптимальной будет стратегия х 1.

Рассмотрим пример 3. Так как в этом примере задана функция потерь, то функция сожаления (i, j) вычисляется по формуле (7).

2 (1,3)=21-5=16 и т. д.

Результаты вычислений запишем в виде матрицы S:

Для нахождения оптимальной по критерию Сэвиджа стратегии ОС найдем по матрице сожалений S стратегию х 0 , удовлетворяющую принципу наилучшего гарантированного результата. Для этого в силу (8) нужно найти максимальный элемент в каждой строке матрицы S. Обозначим его b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , соответственно. Затем необходимо найти наименьшее из чисел b i . Тогда номер i * : b i*= min{b j }- определит оптимальную стратегию. В примере 3 b 1 =10, b 2 =8, b 3 =16, b 4 =25. Соответственно, i 0 =2, так как b 2 =min{b 1 ;b 2 ;b 3 ;b 4 }. Следовательно, стратегия х 2 является оптимальной по критерию Сэвиджа в данном примере. Этот ответ совпадает с ответом, полученным по критерию Лапласа.

Таким образом, для приведенной в примере 3 функции потерь оптимальной и по критерию Лапласа, и по критерию Сэвиджа является стратегия х 2 . Однако из приведенного примера не стоит делать вывод, что такое совпадение будет всегда выполняться. Можно привести пример, когда эти два критерия будут считать оптимальными различные стратегии.

Критерий Гурвица. Для определения следующего критерия нам понадобится понятие выпуклой комбинации.

Определение 13. Число с называется выпуклой комбинацией чисел a и b, если существует число [О;1] такое, что

Отметим, что множество всех таких чисел образует отрезок . Критерий Гурвица является выпуклой комбинацией критериев крайнего пессимизма W 1 (x, у) и крайнего оптимизма:

Здесь мы считаем, что задана функция выигрыша f(x, y). Критерий крайнего оптимизма предполагает, что неопределенный фактор yY - максимально содействует ОС в ее стремлении увеличить свой выигрыш. Итак, в случае, когда задана функция выигрыша f(x, y) ОС критерий Гурвица имеет вид:

Оптимальной в этом случае считается стратегия х 0 X, доставляющая максимум функции W 5 (x), т.е.

W 5 (х 0)=W 5 (x).

Для функции потерь (х, у) критерий Гурвица задается равенством:

Оптимальной при этом считается стратегия х 0 X, на которой достигается минимум функции W 6 (х), т. е.

W 6 (x 0)=W 6 (x).

Параметр называется показателем оптимизма: при =1 критерий Гурвица превращается в критерий крайнего оптимизма, при =0 - в критерий крайнего пессимизма. Выбор параметра осуществляется ОС, исходя из ее взглядов на данную операцию, то есть является субъективным.

Найдем решение задачи из примера 3 по критерию Гурвица в случае = 0.2. Имеем соответственно:

W 6 (x 2) = =19.8, W 6 (x 3) = = 19.2,

W 6 (х 4) = = 27.

Анализируя зависимость выбора оптимальной стратегии от значения, получим:

(0.5; 1] - оптимальная стратегия х 1 ;

0.5 - оптимальные стратегии х 1 и х 2 ;

(2/7; 0.5) - оптимальная стратегия x 2 ;

2/7 - оптимальные стратегии x 2 и х 3 ;

}