Formula za udaljenost od tačke do ravni. Udaljenost od tačke do ravni. Detaljna teorija s primjerima (2020). I. Organizacioni momenat

Ovaj članak govori o određivanju udaljenosti od tačke do ravni. Analizirajmo ga koristeći koordinatnu metodu, koja će nam omogućiti da pronađemo udaljenost od date tačke u trodimenzionalnom prostoru. Da bismo to potvrdili, pogledajmo primjere nekoliko zadataka.

Udaljenost od tačke do ravni nalazi se pomoću poznate udaljenosti od tačke do tačke, pri čemu je jedna od njih data, a druga je projekcija na datu ravan.

Kada je tačka M 1 sa ravni χ specificirana u prostoru, tada se kroz tačku može povući prava prava okomita na ravan. H 1 je njihova zajednička tačka preseka. Iz ovoga dobijamo da je segment M 1 H 1 okomica povučena iz tačke M 1 na ravan χ, gde je tačka H 1 osnova okomice.

Definicija 1

Udaljenost od date tačke do osnove okomice povučene iz date tačke u datu ravan naziva se.

Definicija se može napisati u različitim formulacijama.

Definicija 2

Udaljenost od tačke do ravni je dužina okomice povučene iz date tačke u datu ravan.

Udaljenost od tačke M 1 do χ ravni određuje se na sljedeći način: udaljenost od tačke M 1 do χ ravni će biti najmanja od date tačke do bilo koje tačke na ravni. Ako se tačka H 2 nalazi u χ ravni i nije jednaka tački H 2, onda dobijamo pravokutni trokut oblika M 2 H 1 H 2 , koji je pravougaoni, gde se nalazi krak M 2 H 1, M 2 H 2 – hipotenuza. To znači da slijedi da je M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 smatra se nagnutom, koja je povučena iz tačke M 1 u ravan χ. Imamo da je okomica povučena iz date tačke na ravan manja od nagnute povučene iz tačke u datu ravan. Pogledajmo ovaj slučaj na slici ispod.

Udaljenost od tačke do ravni - teorija, primjeri, rješenja

Postoji niz geometrijskih problema čija rješenja moraju sadržavati udaljenost od tačke do ravni. Mogu postojati različiti načini da se ovo identificira. Za rješavanje koristite Pitagorinu teoremu ili sličnost trokuta. Kada je, prema uslovu, potrebno izračunati rastojanje od tačke do ravni, datog u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora, to se rešava koordinatnom metodom. Ovaj paragraf govori o ovoj metodi.

Prema uslovima zadatka, imamo da je data tačka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) sa ravninom χ potrebno je odrediti rastojanje od M 1 do ravan χ. Za rješavanje ovog problema koristi se nekoliko metoda rješenja.

Prvi način

Ova metoda se zasniva na pronalaženju udaljenosti od tačke do ravni pomoću koordinata tačke H 1, koje su osnova okomice iz tačke M 1 na ravan χ. Zatim morate izračunati udaljenost između M 1 i H 1.

Da biste riješili problem na drugi način, koristite normalnu jednačinu date ravni.

Drugi način

Po uslovu imamo da je H 1 osnova okomice, koja je spuštena iz tačke M 1 u ravan χ. Zatim odredimo koordinate (x 2, y 2, z 2) tačke H 1. Tražena udaljenost od M 1 do χ ravni nalazi se po formuli M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, gdje je M 1 (x 1, y 1, z 1) i H 1 (x 2, y 2, z 2). Da biste to riješili, morate znati koordinate tačke H 1.

Imamo da je H 1 tačka preseka χ ravni sa pravom a, koja prolazi kroz tačku M 1 koja se nalazi okomito na ravan χ. Iz toga slijedi da je potrebno sastaviti jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu ravan. Tada ćemo moći odrediti koordinate tačke H 1. Potrebno je izračunati koordinate tačke preseka prave i ravni.

Algoritam za pronalaženje udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) do χ ravni:

Definicija 3

nacrtati jednačinu prave a koja prolazi kroz tačku M 1 i istovremeno
okomito na ravan χ;
pronađite i izračunajte koordinate (x 2 , y 2 , z 2) tačke H 1, koje su tačke
presek prave a sa ravninom χ;
izračunajte udaljenost od M 1 do χ koristeći formulu M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

Treći način

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z postoji ravan χ, tada dobijamo normalnu jednačinu ravni oblika cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0. Odavde dobijamo da je rastojanje M 1 H 1 sa tačkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) povučeno u ravan χ, izračunato po formuli M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p . Ova formula je važeća, jer je ustanovljena zahvaljujući teoremi.

Teorema

Ako je tačka M 1 (x 1, y 1, z 1) data u trodimenzionalnom prostoru, koja ima normalnu jednačinu ravni χ oblika cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, tada se izračunavanjem udaljenosti od tačke do ravni M 1 H 1 dobija iz formule M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p, pošto je x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Dokaz

Dokaz teoreme se svodi na pronalaženje udaljenosti od tačke do prave. Iz ovoga dobijamo da je rastojanje od M 1 do χ ravni modul razlike između numeričke projekcije vektora radijusa M 1 sa rastojanjem od početka do χ ravni. Tada dobijamo izraz M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vektor normale ravni χ ima oblik n → = cos α, cos β, cos γ, a njegova dužina je jednaka jedan, n p n → O M → je numerička projekcija vektora O M → = (x 1, y 1 , z 1) u pravcu određenom vektorom n → .

Primijenimo formulu za izračunavanje skalarnih vektora. Tada dobijamo izraz za pronalaženje vektora oblika n → , O M → = n → · n p n → O M → = 1 · n p n → O M → = n p n → O M → , budući da je n → = cos α , cos β , cos γ · z i O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Koordinatni oblik zapisa imat će oblik n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 , zatim M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorema je dokazana.

Odavde dobijamo da se udaljenost od tačke M 1 (x 1, y 1, z 1) do ravni χ izračunava zamjenom cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 u lijeva strana normalne jednadžbe ravni umjesto x, y, z koordinate x 1, y 1 i z 1, koji se odnosi na tačku M 1, uzimajući apsolutnu vrijednost dobijene vrijednosti.

Pogledajmo primjere pronalaženja udaljenosti od tačke s koordinatama do date ravni.

Primjer 1

Izračunajte udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10) do ravni 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Rješenje

Rešimo problem na dva načina.

Prva metoda počinje s izračunavanjem vektora smjera prave a. Po uslovu imamo da je data jednadžba 2 x - y + 5 z - 3 = 0 jednačina ravni opšti pogled, a n → = (2, - 1, 5) je vektor normale date ravni. Koristi se kao vektor pravca prave a, koja je okomita na datu ravan. Potrebno je zapisati kanonsku jednačinu prave u prostoru koja prolazi kroz M 1 (5, - 3, 10) sa vektorom pravca sa koordinatama 2, - 1, 5.

Jednačina će postati x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Tačke raskrsnice moraju biti određene. Da biste to učinili, lagano kombinirajte jednadžbe u sistem da biste prešli sa kanonske na jednačine dvije linije koje se seku. Uzmimo ovu tačku kao H 1. Shvatili smo to

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Nakon toga morate omogućiti sistem

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Okrenimo se pravilu rješenja rješenja Gausovog sistema:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Dobijamo da je H 1 (1, - 1, 0).

Izračunavamo udaljenost od date tačke do ravni. Uzimamo tačke M 1 (5, - 3, 10) i H 1 (1, - 1, 0) i dobijamo

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

Drugo rješenje je da se zadata jednačina 2 x - y + 5 z - 3 = 0 dovede u normalni oblik. Određujemo faktor normalizacije i dobijamo 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Odavde izvodimo jednačinu ravni 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0. Lijeva strana jednačine se izračunava zamjenom x = 5, y = - 3, z = 10, a potrebno je uzeti udaljenost od M 1 (5, - 3, 10) do 2 x - y + 5 z - 3 = 0 po modulu. Dobijamo izraz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Odgovor: 2 30.

Kada je χ ravan specificirana nekom od metoda u odjeljku o metodama za određivanje ravnine, tada prvo trebate dobiti jednadžbu ravnine χ i izračunati potrebnu udaljenost bilo kojom metodom.

Primjer 2

U trodimenzionalnom prostoru određene su tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1). Izračunajte udaljenost od M 1 do ravni A B C.

Rješenje

Prvo treba da zapišete jednadžbu ravnine koja prolazi kroz date tri tačke sa koordinatama M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Iz toga slijedi da problem ima rješenje slično prethodnom. To znači da udaljenost od tačke M 1 do ravni A B C ima vrijednost 2 30.

Odgovor: 2 30.

Pronalaženje udaljenosti od date tačke na ravni ili do ravni sa kojom su paralelne je pogodnije primenom formule M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Iz ovoga dobijamo da se normalne jednačine ravni dobijaju u nekoliko koraka.

Primjer 3

Odrediti udaljenost od date tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do koordinatne ravni O x y z i ravni date jednadžbom 2 y - 5 = 0.

Rješenje

Koordinatna ravan O y z odgovara jednačini oblika x = 0. Za ravan O y z to je normalno. Stoga je potrebno zamijeniti vrijednosti x = - 3 u lijevu stranu izraza i uzeti apsolutnu vrijednost udaljenosti od tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravni. Dobijamo vrijednost jednaku - 3 = 3.

Nakon transformacije, normalna jednadžba ravni 2 y - 5 = 0 će poprimiti oblik y - 5 2 = 0. Tada možete pronaći potrebnu udaljenost od tačke sa koordinatama M 1 (- 3, 2, - 7) do ravni 2 y - 5 = 0. Zamjenom i računanjem dobijamo 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

odgovor: Tražena udaljenost od M 1 (- 3, 2, - 7) do O y z ima vrijednost 3, a do 2 y - 5 = 0 ima vrijednost 5 2 - 2.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

ZADACI C2 JEDINSTVENOG DRŽAVNOG ISPITA IZ MATEMATIKE ZA NALAZANJE UDALJENOSTI OD TAČKE DO RAVNINE

Kulikova Anastasia Yurievna

Student 5. godine, Odsjek za matematiku. analiza, algebra i geometrija EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

naučni mentor, dr. ped. nauka, vanredni profesor EI KFU, Ruska Federacija, Republika Tatarstan, Elabuga

U Jedinstvenom državnom ispitnom zadatku iz matematike u poslednjih godina pojavljuju se problemi u izračunavanju udaljenosti od tačke do ravni. U ovom članku, na primjeru jednog problema, razmatraju se različite metode za određivanje udaljenosti od tačke do ravni. Najprikladnija metoda može se koristiti za rješavanje različitih problema. Nakon što ste riješili problem jednom metodom, možete provjeriti ispravnost rezultata drugom metodom.

Definicija. Udaljenost od tačke do ravni koja ne sadrži ovu tačku je dužina okomitog segmenta povučenog iz ove tačke u datu ravan.

Zadatak. Dat je pravougaoni paralelepiped ABWITHD.A. 1 B 1 C 1 D 1 sa stranama AB=2, B.C.=4, A.A. 1 =6. Pronađite udaljenost od tačke D u avion ACD 1 .

1 način. Koristeći definicija. Pronađite udaljenost r( D, ACD 1) od tačke D u avion ACD 1 (sl. 1).

Slika 1. Prva metoda

Hajde da izvedemo D.H.⊥AC, dakle, teoremom o tri okomice D 1 H⊥AC I (DD 1 H)⊥AC. Hajde da izvedemo direktno D.T. okomito D 1 H. Pravo D.T. leži u avionu DD 1 H, dakle D.T.⊥A.C.. dakle, D.T.⊥ACD 1.

ADC hajde da nađemo hipotenuzu AC i visina D.H.

Iz pravouglog trougla D 1 D.H. hajde da nađemo hipotenuzu D 1 H i visina D.T.

Odgovor: .

Metoda 2.Volumenska metoda (korištenje pomoćne piramide). Problem ovog tipa može se svesti na problem izračunavanja visine piramide, gdje je visina piramide potrebna udaljenost od tačke do ravni. Dokažite da je ova visina tražena udaljenost; pronađite zapreminu ove piramide na dva načina i izrazite ovu visinu.

Imajte na umu da ovom metodom nema potrebe za konstruisanjem okomice iz date tačke na datu ravan.

Kuboid je paralelepiped čija su sva lica pravougaonici.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Potrebna udaljenost bit će visina h piramide ACD 1 D, spušten sa vrha D na bazi ACD 1 (sl. 2).

Izračunajmo zapreminu piramide ACD 1 D na dva načina.

Prilikom izračunavanja, na prvi način uzimamo ∆ kao bazu ACD 1 onda

Kod računanja na drugi način uzimamo ∆ kao bazu ACD, Onda

Izjednačimo desne strane posljednje dvije jednakosti i dobijemo

Slika 2. Druga metoda

Iz pravokutnih trougla ACD, ADD 1 , CDD 1 pronađite hipotenuzu koristeći Pitagorinu teoremu

ACD

Izračunajte površinu trokuta ACD 1 koristeći Heronovu formulu

Odgovor: .

3 way. Metoda koordinata.

Neka se da poen M(x 0 ,y 0 ,z 0) i avion α , dato jednačinom ax+by+cz+d=0 u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu. Udaljenost od tačke M na ravan α može se izračunati pomoću formule:

Hajde da uvedemo koordinatni sistem (slika 3). Porijeklo koordinata u tački IN;

Pravo AB- osovina X, ravno Ned- osovina y, ravno BB 1 - os z.

Slika 3. Treći metod

B(0,0,0), A(2,0,0), WITH(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Neka ax+by+ cz+ d=0 – jednačina u ravni ACD 1. Zamjena koordinata tačaka u njega A, C, D 1 dobijamo:

Jednačina ravnine ACD 1 će preuzeti formu

Odgovor: .

4 way. Vektorska metoda.

Uvedemo osnovu (slika 4) , .

Slika 4. Četvrta metoda

Uslovi paralelizma i okomitosti

1°. Uslov za koplanarnost dvije ravni

Neka su date dvije ravni:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Kada su oni komplanarni (tj. paralelni ili podudarni)? Očigledno, to će biti slučaj ako i samo ako su njihovi normalni vektori kolinearni. Primjenom kriterija komplanarnosti dobijamo

Rečenica 1. Dvije ravni su komplanarne ako i samo ako je unakrsni proizvod njihovih normalnih vektora jednak nultom vektoru:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Uslov za podudarnost dvije ravni

Prijedlog 2. Ravnine (1) i (2) se poklapaju ako i samo ako su sva četiri njihova koeficijenta proporcionalna, tj. postoji broj λ takav da

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dokaz. Neka su ispunjeni uslovi (3). Tada se jednačina druge ravni može napisati na sljedeći način:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, inače bi bilo A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, što je u suprotnosti sa uslovom n 2 ≠ 0 . Prema tome, posljednja jednačina je ekvivalentna jednačini (1), što znači da se dvije ravni poklapaju.

Hajde sada, naprotiv, da znamo da se ove ravni poklapaju. Tada su njihovi normalni vektori kolinearni, tj. postoji broj λ takav da

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Jednačina (2) se sada može prepisati kao:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Množenjem jednačine (1) sa λ, dobijamo ekvivalentnu jednačinu prve ravni (pošto je λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Hajde da uzmemo nešto ( x 0 , y 0 , z 0) iz prve (a samim tim i druge) ravni i zameniti njene koordinate u poslednje dve jednačine; dobijamo tačne jednakosti:

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Oduzimajući donje od gornjeg, dobijamo D 2 − λ D 1 = 0, tj. D 2 = λ D 1,QED.

3°. Uslov za okomitost dvije ravni

Očigledno, za ovo je neophodno i dovoljno da vektori normale budu okomiti.

Prijedlog 3. Dvije ravni su okomite ako i samo ako je skalarni proizvod normalnih vektora nula:

(n 1 , n 2) = 0 .

Neka je data jednačina ravni

Ax + By + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

i tačka M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Izvedemo formulu za udaljenost od tačke do ravni:

Uzmimo proizvoljnu tačku Q = (x 1 , y 1 , z 1), koji leži u ovoj ravni. Njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu ravni:

Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0.

Zapazimo sada da je potrebna udaljenost d jednaka apsolutnoj vrijednosti vektorske projekcije u pravcu vektora n (ovdje projekciju uzimamo kao numeričku veličinu, a ne kao vektor). Zatim primjenjujemo formulu za izračunavanje projekcije:

Slična formula vrijedi i za udaljenost d od tačke M 0 = (x 0 , y 0) ravan na datu pravu liniju opšta jednačina Ax + By + C = 0.

, Takmičenje "Prezentacija za čas"

klasa: 11

Prezentacija za lekciju

Nazad Naprijed

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani ovo djelo, preuzmite punu verziju.

Ciljevi:

generalizacija i sistematizacija znanja i vještina učenika;
razvijanje sposobnosti analiziranja, poređenja, donošenja zaključaka.

Oprema:

multimedijalni projektor;
kompjuter;
listovi sa problemskim tekstovima

NAPREDAK ČASA

I. Organizacioni momenat

II. Faza ažuriranja znanja(slajd 2)

Ponavljamo kako se određuje udaljenost od tačke do ravni

III. Predavanje(slajdovi 3-15)

U ovoj lekciji ćemo pogledati različite načine za pronalaženje udaljenosti od tačke do ravni.

Prva metoda: izračunavanje korak po korak

Udaljenost od tačke M do ravni α:
– jednako udaljenosti do ravni α od proizvoljne tačke P koja leži na pravoj a, koja prolazi kroz tačku M i paralelna je sa ravninom α;
– jednaka je udaljenosti do ravni α od proizvoljne tačke P koja leži na ravni β, koja prolazi kroz tačku M i paralelna je sa ravninom α.

Riješit ćemo sljedeće probleme:

№1. U kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke C 1 do ravni AB 1 C.

Ostaje izračunati vrijednost dužine segmenta O 1 N.

№2. U pravilnoj heksagonalnoj prizmi A...F 1, čije su sve ivice jednake 1, pronađite rastojanje od tačke A do ravni DEA 1.

Sljedeća metoda: Volumenska metoda.

Ako je zapremina piramide ABCM jednaka V, tada se udaljenost od tačke M do ravni α koja sadrži ∆ABC izračunava po formuli ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Prilikom rješavanja zadataka koristimo jednakost volumena jedne figure, izraženu na dva različita načina.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№3. Ivica AD piramide DABC je okomita na osnovnu ravan ABC. Odrediti rastojanje od A do ravni koja prolazi središtem ivica AB, AC i AD, ako.

Prilikom rješavanja problema koordinatni metod udaljenost od tačke M do ravni α može se izračunati pomoću formule ρ(M; α) = , gdje je M(x 0; y 0; z 0), a ravan je data jednadžbom ax + by + cz + d = 0

Hajde da rešimo sledeći problem:

№4. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke A 1 do ravni BDC 1.

Hajde da uvedemo koordinatni sistem sa ishodištem u tački A, y-osa će ići duž ivice AB, x-osa duž ivice AD, a z-osa duž ivice AA 1. Tada koordinate tačaka B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Napravimo jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke B, D, C 1.

Tada je – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Dakle, ρ =

Sljedeća metoda koja se može koristiti za rješavanje problema ove vrste je metodu problema podrške.

Primjena ove metode sastoji se u korištenju poznatih referentnih problema, koji su formulirani kao teoreme.

Hajde da rešimo sledeći problem:

№5. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke D 1 do ravni AB 1 C.

Razmotrimo aplikaciju vektorska metoda.

№6. U jediničnoj kocki A...D 1 pronađite rastojanje od tačke A 1 do ravni BDC 1.

Dakle, pogledali smo različite metode koje se mogu koristiti za rješavanje ove vrste problema. Izbor jedne ili druge metode ovisi o specifičnom zadatku i vašim željama.

IV. Grupni rad

Pokušajte riješiti problem na različite načine.

№1. Ivica kocke A...D 1 je jednaka . Pronađite udaljenost od vrha C do ravni BDC 1.

№2. U pravilnom tetraedru ABCD sa ivicom pronađite rastojanje od tačke A do ravni BDC

№3. U pravilnoj trouglastoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 čije su sve ivice jednake 1, pronađite udaljenost od A do ravni BCA 1.

№4. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi SABCD, čije su sve ivice jednake 1, pronađite rastojanje od A do ravni SCD.

V. Sažetak lekcije, domaći, razmišljanje

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.