Kako izračunati i odrediti površinu. Kako izračunati površinu figure potpuno različite površine koja

Formula površine potrebno je odrediti površinu figure, koja je realnovrijedna funkcija definirana na određenoj klasi figura euklidske ravni i koja zadovoljava 4 uvjeta:

Pozitivnost - Površina ne može biti manja od nule;
Normalizacija - kvadrat sa bočnom jedinicom ima površinu 1;
Kongruencija - kongruentne figure imaju jednaku površinu;
Aditivnost - površina spoja 2 figure bez zajedničkih unutrašnjih tačaka jednaka je zbroju površina ovih figura.

Formule za područje geometrijskih figura.

Geometrijska figura	Formula	Crtanje
Rezultat zbrajanja udaljenosti između sredina suprotnih strana konveksnog četverokuta bit će jednak njegovom poluperimetru.
Sektor kruga. Površina sektora kružnice jednaka je proizvodu njegovog luka i polovine poluprečnika.
Kružni segment. Da biste dobili površinu segmenta ASB, dovoljno je oduzeti površinu trokuta AOB od površine sektora AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
Površina elipse jednaka je proizvodu dužina velike i male poluose elipse i broja pi.
Elipsa. Druga opcija za izračunavanje površine elipse je kroz dva njena poluprečnika.
Trougao. Kroz bazu i visinu. Formula za površinu kruga koristeći njegov polumjer i promjer.
Square . Preko njegove strane. Površina kvadrata jednaka je kvadratu dužine njegove stranice.
Square. Kroz svoje dijagonale. Površina kvadrata jednaka je polovini kvadrata dužine njegove dijagonale.
Regularni poligon. Da biste odredili površinu pravilnog poligona, potrebno ga je podijeliti na jednake trokute koji bi imali zajednički vrh u središtu upisane kružnice.	S= r p = 1/2 r n a

Da biste riješili probleme geometrije, morate znati formule - kao što je površina trokuta ili površina paralelograma - kao i jednostavne tehnike koje ćemo pokriti.

Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih sakupili u zgodnu tabelu. Štampajte, naučite i prijavite se!

Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tabeli. Na primjer, za rješavanje zadataka iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike, koriste se druge formule za površinu trokuta. Definitivno ćemo vam pričati o njima.

Ali što ako trebate pronaći ne područje trapeza ili trokuta, već površinu neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.

1. Kako pronaći površinu nestandardne figure? Na primjer, proizvoljan četverougao? Jednostavna tehnika - podijelimo ovu cifru na one o kojima znamo sve i pronađite njenu površinu - kao zbir površina ovih figura.

Podijelite ovaj četverokut s vodoravnom linijom u dva trokuta sa zajedničkom bazom jednaka . Visine ovih trouglova su jednake i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dva trokuta: .

Odgovor: .

2. U nekim slučajevima, površina figure se može predstaviti kao razlika nekih površina.

Nije tako lako izračunati šta su osnova i visina u ovom trouglu! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici između površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutna trokuta. Vidite li ih na slici? Dobijamo: .

Odgovor: .

3. Ponekad u zadatku morate pronaći površinu ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijelu kruga Nađite površinu sektora kružnice čija je dužina luka jednaka .

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je . Ostaje da saznamo koji je dio kruga prikazan. Budući da je dužina cijelog kruga jednaka (od ), a dužina luka datog sektora je jednaka , dakle, dužina luka je nekoliko puta manja od dužine cijelog kruga. Ugao pod kojim se ovaj luk naslanja je takođe faktor manji od punog kruga (tj. stepeni). To znači da će površina sektora biti nekoliko puta manja od površine cijelog kruga.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Znanje o tome kako izmjeriti Zemlju pojavilo se u drevnim vremenima i postepeno se oblikovalo u nauci geometrije. Ova riječ je sa grčkog prevedena kao "premjer zemljišta".

Mjera dužine i širine ravnog dijela Zemlje je površina. U matematici se obično označava latinskim slovom S (od engleskog "square" - "površina", "kvadrat") ili grčkim slovom σ (sigma). S označava površinu figure na ravni ili površinu tijela, a σ je površina poprečnog presjeka žice u fizici. Ovo su glavni simboli, iako mogu postojati i drugi, na primjer, u području čvrstoće materijala, A je površina poprečnog presjeka profila.

Proračunske formule

Poznavajući područja jednostavnih figura, možete pronaći parametre složenijih.. Drevni matematičari razvili su formule koje se mogu lako koristiti za njihovo izračunavanje. Takve figure su trokut, četverokut, mnogokut, krug.

Da bi se pronašla površina složene ravne figure, ona se razlaže na mnogo jednostavnih figura kao što su trokuti, trapezi ili pravokutnici. Zatim se pomoću matematičkih metoda izvodi formula za površinu ove figure. Slična metoda se koristi ne samo u geometriji, već iu matematičkoj analizi za izračunavanje površina figura ograničenih krivuljama.

Trougao

Počnimo od najjednostavnije figure - trokuta. Oni su pravougaoni, jednakokraki i jednakostrani. Uzmimo bilo koji trougao ABC sa stranicama AB=a, BC=b i AC=c (∆ ABC). Da bismo pronašli njegovu površinu, prisjetimo se sinusnih i kosinusnih teorema poznatih iz školskog kursa matematike. Ostavljajući sve proračune, dolazimo do sljedećih formula:

S=√ - Heronova formula, svima poznata, gdje je p=(a+b+c)/2 poluperimetar trougla;
S=a h/2, gdje je h visina spuštena na stranu a;
S=a b (sin γ)/2, gdje je γ ugao između stranica a i b;
S=a b/2, ako je ∆ ABC pravougaona (ovdje su a i b kraci);
S=b² (sin (2 β))/2, ako je ∆ ABC jednakokračan (ovdje je b jedan od “kukova”, β je ugao između “kukova” trougla);
S=a² √¾, ako je ∆ ABC jednakostraničan (ovdje je a stranica trougla).

Quadrangle

Neka postoji četverougao ABCD sa AB=a, BC=b, CD=c, AD=d. Da biste pronašli površinu S proizvoljnog 4-kuta, trebate ga podijeliti dijagonalom na dva trokuta, čije površine S1 i S2 općenito nisu jednake.

Zatim koristite formule za njihovo izračunavanje i sabiranje, tj. S=S1+S2. Međutim, ako 4-kutnik pripada određenoj klasi, tada se njegovo područje može pronaći pomoću prethodno poznatih formula:

S=(a+c) h/2=e h, ako je tetragon trapez (ovdje su a i c osnove, e je srednja linija trapeza, h je visina spuštena na jednu od osnova trapeza;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, ako je ABCD paralelogram (ovdje je φ ugao između stranica a i b, h visina spuštena na stranu a, d1 i d2 su dijagonale);
S=a b=d²/2, ako je ABCD pravougaonik (d je dijagonala);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, ako je ABCD romb (a je stranica romba, φ je jedan od njegovih uglova, P je perimetar);
S=a²=P²/16=d²/2, ako je ABCD kvadrat.

Poligon

Da bi pronašli površinu n-ugla, matematičari ga razbijaju na najjednostavnije jednake figure - trokute, pronalaze površinu svakog od njih i zatim ih dodaju. Ali ako poligon pripada klasi regularnih, onda koristite formulu:

S=a n h/2=a² n/=P²/, gdje je n broj vrhova (ili stranica) poligona, a je stranica n-ugla, P je njegov perimetar, h je apotema, tj. segment povučen od centra poligona do jedne od njegovih strana pod uglom od 90°.

Circle

Krug je savršen poligon sa beskonačnim brojem strana. Moramo izračunati granicu izraza s desne strane u formuli za površinu poligona s brojem stranica n koji teži beskonačnosti. U ovom slučaju, perimetar poligona će se pretvoriti u dužinu kruga polumjera R, koji će biti granica naše kružnice, i postaće jednak P=2 π R. Zamijenite ovaj izraz u gornju formulu. Primit ćemo:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Nađimo granicu ovog izraza kao n→∞. Da bismo to učinili, uzimamo u obzir da je lim (cos (180°/n)) za n→∞ jednak cos 0°=1 (lim je predznak granice), a lim = lim za n→∞ je jednak 1/π (konvertovali smo stepen stepena u radijan, koristeći relaciju π rad=180°, i primenili prvu izuzetnu granicu lim (sin x)/x=1 na x→∞). Zamjenom dobivenih vrijednosti u posljednji izraz za S dolazimo do dobro poznate formule:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Jedinice mjerenja

Koriste se sistemske i nesistemske mjerne jedinice. Jedinice sistema pripadaju SI (System International). Ovo je kvadratni metar (kv. metar, m²) i jedinice izvedene iz njega: mm², cm², km².

U kvadratnim milimetrima (mm²), na primjer, mjere površinu poprečnog presjeka žica u elektrotehnici, u kvadratnim centimetrima (cm²) - poprečni presjek grede u strukturnoj mehanici, u kvadratnim metrima (m²) - u stanu ili kući, u kvadratnim kilometrima (km²) - u geografiji.

Međutim, ponekad se koriste nesistemske mjerne jedinice, kao što su: weave, ar (a), hektar (ha) i acre (ac). Predstavimo sljedeće odnose:

1 sto kvadrata=1 a=100 m²=0,01 hektara;
1 ha=100 a=100 ari=10000 m²=0.01 km²=2.471 ak.
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 ari = 0,405 hektara.

Kako pronaći površinu figure?

Poznavanje i sposobnost izračunavanja površina različitih figura neophodno je ne samo za rješavanje jednostavnih geometrijskih problema. Ne možete bez ovog znanja prilikom sastavljanja ili provjere procjena za popravke prostorija, izračunavanja količine potrebnog potrošnog materijala. Dakle, hajde da shvatimo kako pronaći područja različitih oblika.

Dio ravnine koji se nalazi unutar zatvorene konture naziva se površina ove ravni. Površina je izražena brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Da biste izračunali površinu osnovnih geometrijskih oblika, morate koristiti ispravnu formulu.

Površina trougla

Oznake:

Ako su h, a poznati, tada se površina traženog trokuta određuje kao proizvod dužine stranice i visine trokuta spuštenog na ovu stranu, podijeljen na pola: S=(a h)/2
Ako su a, b, c poznati, tada se tražena površina izračunava pomoću Heronove formule: kvadratni korijen uzet iz proizvoda polovine perimetra trokuta i tri razlike polovine perimetra i svake strane trokuta: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Ako su a, b, γ poznati, tada se površina trokuta određuje kao polovina umnožaka 2 stranice, pomnoženog sa vrijednošću sinusa ugla između ovih stranica: S=(a b sin γ)/2
Ako su a, b, c, R poznati, tada se tražena površina određuje dijeljenjem proizvoda dužina svih strana trokuta sa četiri polumjera opisane kružnice: S=(a b c)/4R
Ako su p, r poznati, tada se tražena površina trokuta određuje množenjem polovine perimetra polumjerom kruga upisanog u njega: S=p·r

Kvadratna površina

Oznake:

Ako je strana poznata, tada se površina ove figure određuje kao kvadrat dužine njene stranice: S=a 2
Ako je d poznato, tada se površina kvadrata određuje kao polovina kvadrata dužine njegove dijagonale: S=d 2 /2

Površina pravougaonika

Oznake:

S - određena površina,
a, b - dužine stranica pravougaonika.

Ako su a, b poznati, tada je površina datog pravokutnika određena proizvodom dužina njegovih dviju stranica: S=a b
Ako su duljine stranica nepoznate, tada se površina pravokutnika mora podijeliti na trokute. U ovom slučaju, površina pravokutnika se određuje kao zbir površina trokuta koji ga čine.

Površina paralelograma

Oznake:

S je tražena površina,
a, b - dužine stranica,
h je dužina visine datog paralelograma,
d1, d2 - dužine dvije dijagonale,
α je ugao između stranica,
γ je ugao između dijagonala.

Ako su a, h poznati, tada se tražena površina određuje množenjem dužine stranice i visine spuštene na ovu stranu: S=a h
Ako su a, b, α poznati, tada se površina paralelograma određuje množenjem dužina stranica paralelograma i sinusa ugla između ovih stranica: S=a b sin α
Ako su poznati d 1 , d 2 , γ, tada se površina paralelograma određuje kao polovina proizvoda dužina dijagonala i sinusa ugla između ovih dijagonala: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Područje romba

Oznake:

S je tražena površina,
a - dužina strane,
h - dužina visine,
α je manji ugao između dvije stranice,
d1, d2 - dužine dvije dijagonale.

Ako su a, h poznati, tada se površina romba određuje množenjem dužine stranice s dužinom visine koja se spušta na ovu stranu: S=a h
Ako su a, α poznati, tada se površina romba određuje množenjem kvadrata dužine stranice sa sinusom ugla između stranica: S=a 2 sin α
Ako su d 1 i d 2 poznati, tada se tražena površina određuje kao polovina proizvoda dužina dijagonala romba: S=(d 1 d 2)/2

Područje trapeza

Oznake:

Ako su a, b, c, d poznati, tada se tražena površina određuje po formuli: S= (a+b) /2 *√.
Uz poznate a, b, h, tražena površina je određena kao proizvod polovine zbira osnovica i visine trapeza: S=(a+b)/2 h

Površina konveksnog četvorougla

Oznake:

Ako su poznati d 1 , d 2 , α, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao polovina proizvoda dijagonala četverokuta, pomnoženog sa sinusom ugla između ovih dijagonala: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
Za poznate p, r, površina konveksnog četverokuta određuje se kao proizvod poluperimetra četverokuta i polumjera kružnice upisane u ovaj četverokut: S=p r
Ako su poznati a, b, c, d, θ, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao kvadratni korijen proizvoda razlike poluperimetra i dužine svake stranice minus proizvod dužine svih strana i kvadrat kosinusa polovine zbira dva suprotna ugla: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Područje kruga

Oznake:

Ako je r poznato, tada se tražena površina određuje kao proizvod broja π i kvadratnog polumjera: S=π r 2

Ako je d poznat, tada se površina kruga određuje kao umnožak broja π s kvadratom prečnika podijeljenog sa četiri: S=(π d 2)/4

Područje složene figure

Složeni se mogu podijeliti na jednostavne geometrijske oblike. Površina kompleksne figure definira se kao zbir ili razlika njegovih sastavnih površina. Razmotrite, na primjer, prsten.

Oznaka:

S - područje prstena,
R, r - radijusi vanjskog i unutrašnjeg kruga, respektivno,
D, d su prečnici spoljašnjeg i unutrašnjeg kruga, respektivno.

Da biste pronašli površinu prstena, morate oduzeti površinu od površine većeg kruga manji krug. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Dakle, ako su R i r poznati, tada se površina prstena određuje kao razlika u kvadratima polumjera vanjskog i unutrašnjeg kruga, pomnoženih s pi: S=π(R 2 -r 2).

Ako su D i d poznati, tada se površina prstena određuje kao četvrtina razlike u kvadratima prečnika vanjskog i unutrašnjeg kruga, pomnožene s pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Patch area

Pretpostavimo da se unutar jednog kvadrata (A) nalazi drugi (B) (manje veličine), a trebamo pronaći zasjenjenu šupljinu između figura "A" i "B". Recimo, "okvir" malog kvadrata. Da biste to učinili:

Pronađite površinu figure "A" (izračunato pomoću formule za pronalaženje površine kvadrata).
Slično tome, nalazimo područje na slici "B".
Oduzmite područje "B" od područja "A". I tako dobijamo površinu osenčene figure.

Sada znate kako pronaći područje različitih oblika.