Pergerakan mudah alih sesuatu titik. Pergerakan: mutlak, relatif, kiasan. Teorem Euler. Halaju sudut. Menetapkan tugas untuk gerakan titik kompleks

Setakat ini kita telah mengkaji pergerakan sesuatu titik atau jasad berhubung dengan satu sistem yang diberikan kira detik. Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, apabila menyelesaikan masalah mekanik, ternyata dinasihatkan (dan kadangkala perlu) untuk mempertimbangkan pergerakan titik (atau badan) secara serentak berhubung dengan dua sistem rujukan, yang mana satu dianggap sebagai utama atau pegun bersyarat, dan yang satu lagi bergerak dengan cara tertentu berhubung dengan yang pertama. Pergerakan yang dilakukan oleh titik (atau badan) dipanggil komposit atau kompleks. Sebagai contoh, bola yang bergolek di sepanjang geladak kapal wap yang bergerak boleh dianggap melakukan gerakan kompleks berbanding pantai, yang terdiri daripada bergolek berbanding geladak (bingkai rujukan bergerak), dan bergerak bersama-sama dengan dek kapal wap. berhubung dengan pantai (rangka rujukan tetap). Dengan cara ini, gerakan kompleks bola diuraikan kepada dua yang lebih mudah dan lebih mudah dipelajari.

Rajah 48

Pertimbangkan perkara itu M, bergerak relatif kepada sistem rujukan bergerak Oxyz, yang entah bagaimana bergerak relatif kepada sistem rujukan lain, yang kita panggil pegun utama atau bersyarat (Rajah 48). Setiap sistem rujukan ini dikaitkan, sudah tentu, dengan badan tertentu, tidak ditunjukkan dalam lukisan. Mari kita perkenalkan definisi berikut.

1. Pergerakan yang dibuat oleh satu titik M berhubung dengan sistem rujukan bergerak (kepada paksi Oxyz), dipanggil pergerakan relatif(pergerakan sedemikian akan dilihat oleh pemerhati yang dikaitkan dengan paksi ini dan bergerak bersamanya). Trajektori AB digambarkan oleh titik dalam gerakan relatif dipanggil trajektori relatif. Kelajuan mata M berhubung dengan paksi Oxyz dipanggil halaju relatif (ditandakan dengan ), dan pecutan dipanggil pecutan relatif (ditandakan dengan ). Daripada definisi ia mengikuti bahawa apabila mengira dan ia adalah mungkin untuk menggerakkan paksi Oxyz tidak mengambil kira (anggap mereka sebagai tidak bergerak).

2. Pergerakan yang dilakukan oleh kerangka rujukan bergerak Oxyz(dan semua titik ruang yang selalu dikaitkan dengannya) berhubung dengan sistem tetap, adalah untuk titik itu M pergerakan mudah alih.

Kelajuan selalu dikaitkan dengan paksi yang bergerak Oxyz mata m, yang mana titik bergerak bertepatan pada masa tertentu M, dipanggil kelajuan pemindahan titik M pada masa ini (ditandakan dengan ), dan pecutan titik ini m- pecutan mudah alih sesuatu titik M(ditandakan dengan ). Oleh itu,

Jika kita bayangkan bahawa pergerakan relatif sesuatu titik berlaku pada permukaan (atau di dalam) jasad pepejal yang mana paksi yang bergerak disambung dengan tegar. Oxyz, kemudian kelajuan mudah alih (atau pecutan) titik M pada masa tertentu akan terdapat kelajuan (atau pecutan) titik m badan yang titik itu bertepatan pada masa ini M.

3. Pergerakan yang dibuat oleh titik berhubung dengan kerangka rujukan tetap dipanggil mutlak atau kompleks. Trajektori CD pergerakan ini dipanggil trajektori mutlak, kelajuan dipanggil kelajuan mutlak (ditandakan dengan ) dan pecutan dipanggil pecutan mutlak (ditandakan dengan ).

Dalam contoh di atas, pergerakan bola berbanding geladak kapal wap adalah relatif, dan kelajuan adalah kelajuan relatif bola; pergerakan pengukus berhubung dengan pantai akan menjadi gerakan mudah alih untuk bola, dan kelajuan titik itu di geladak yang disentuh bola pada masa tertentu akan menjadi kelajuan mudah alihnya pada masa itu; akhirnya, pergerakan bola berbanding pantai akan menjadi gerakan mutlaknya, dan kelajuan akan menjadi kelajuan mutlak bola.

Apabila mengkaji pergerakan kompleks sesuatu titik, adalah berguna untuk menggunakan "Peraturan Berhenti". Bagi pemerhati pegun melihat pergerakan relatif sesuatu titik, pergerakan mudah alih mesti dihentikan.

Kemudian hanya gerakan relatif akan berlaku. Pergerakan relatif akan menjadi mutlak. Dan sebaliknya, jika anda menghentikan pergerakan relatif, pergerakan mudah alih akan menjadi mutlak dan pemerhati pegun hanya akan melihat pergerakan mudah alih ini.

Dalam kes kedua, apabila menentukan pergerakan mudah alih sesuatu titik, satu keadaan yang sangat penting didedahkan. Pergerakan mudah alih sesuatu titik bergantung pada saat di mana pergerakan relatif dihentikan, di mana titik itu berada pada medium pada masa itu. Oleh kerana, secara amnya, semua titik medium bergerak secara berbeza. Oleh itu, adalah lebih logik untuk ditentukan pergerakan mudah alih sesuatu titik sebagai pergerakan mutlak titik itu dalam persekitaran yang mana titik bergerak itu bertepatan pada masa ini.

22.Teorem penambahan kelajuan.

Biarkan sedikit M membuat pergerakan relatif kepada sistem rujukan Oxyz, yang dengan sendirinya bergerak secara sewenang-wenangnya berkenaan dengan kerangka rujukan pegun , (Gamb. 49).

Sudah tentu, pergerakan mutlak sesuatu titik M ditentukan oleh persamaan

Pergerakan relatif - dalam paksi bergerak dengan persamaan

nasi. 10.3.

Tidak boleh ada sebarang persamaan yang menentukan pergerakan mudah alih sesuatu titik. Oleh kerana, mengikut definisi, pergerakan mudah alih sesuatu titik M adalah pergerakan relatif kepada paksi tetap titik sistem yang titik itu bertepatan pada masa ini. Tetapi semua titik sistem bergerak bergerak secara berbeza.

Kedudukan bingkai rujukan yang bergerak juga boleh ditentukan dengan menentukan kedudukan titik TENTANG vektor jejari diambil daripada asal sistem rujukan tetap, dan arah vektor unit paksi bergerak Lembu, Oy, Oz.

Rajah 49

Pergerakan mudah alih sewenang-wenangnya bagi kerangka rujukan yang bergerak terdiri daripada gerakan translasi dengan kelajuan titik TENTANG dan pergerakan di sekeliling paksi serta-merta putaran ATAU melalui titik TENTANG, dengan halaju sudut serta-merta. Disebabkan oleh gerakan mudah alih bingkai rujukan bergerak, vektor jejari dan arah vektor unit berubah. Jika vektor diberikan sebagai fungsi masa, maka gerakan mudah alih bingkai rujukan bergerak ditakrifkan sepenuhnya.

Kedudukan mata M berkenaan dengan kerangka rujukan bergerak boleh ditentukan oleh vektor jejari

di manakah koordinat x, y, z mata M berubah mengikut masa kerana pergerakan sesuatu titik M berbanding dengan kerangka rujukan yang bergerak. Jika vektor jejari ditentukan sebagai fungsi masa, maka gerakan relatif titik itu M, iaitu pergerakan titik ini berbanding dengan kerangka rujukan bergerak diberikan.

Kedudukan titik M berbanding dengan sistem rujukan tetap boleh ditentukan oleh vektor jejari. Daripada Rajah 49 adalah jelas bahawa

Jika koordinat relatif x,y,z mata M dan vektor ditakrifkan sebagai fungsi masa, maka gerakan komposit titik, yang terdiri daripada gerakan relatif dan translasi. M, iaitu pergerakan titik ini berhubung dengan kerangka rujukan tetap juga mesti dipertimbangkan diberikan.

Kelajuan pergerakan titik kompaun M, atau kelajuan mutlak titik ini, jelas sama dengan terbitan vektor jejari titik M pada masa t

Oleh itu, membezakan kesamaan (1) berkenaan dengan masa t, kita mendapatkan

Mari kita bahagikan istilah di sebelah kanan persamaan ini kepada dua kumpulan mengikut kriteria berikut. Kumpulan pertama termasuk istilah yang mengandungi terbitan hanya koordinat relatif x,y,z, dan yang kedua - istilah yang mengandungi terbitan vektor, i.e. daripada kuantiti yang berubah hanya disebabkan oleh pergerakan mudah alih bingkai rujukan bergerak

Setiap kumpulan istilah, dilambangkan dengan dan , mewakili, sekurang-kurangnya dalam dimensi, kelajuan tertentu. Mari kita ketahui maksud fizikal halaju dan .

Kelajuan, seperti berikut dari kesamaan (3), dikira di bawah andaian bahawa hanya koordinat relatif berubah x,y,z mata M, tetapi vektor kekal malar, i.e. bingkai rujukan bergerak Oxyz seolah-olah secara konvensional dianggap tidak bergerak. Jadi kelajuan ialah kelajuan relatif sesuatu titik M.

Kelajuan dikira seolah-olah satu titik M tidak bergerak relatif kepada kerangka rujukan bergerak, kerana derivatif x,y,z tidak termasuk dalam kesamarataan (4). Oleh itu, kelajuan adalah kelajuan mudah alih titik M.

Jadi, . (5)

Kesamaan ini menyatakan teorem untuk menambah halaju dalam kes apabila gerakan mudah alih adalah sewenang-wenangnya: kelajuan mutlak sesuatu titik M sama dengan jumlah geometri halaju mudah alih dan relatif bagi titik ini.

Contoh 13. cincin M bergerak sepanjang rod berputar supaya (cm) dan (rad).

Rajah 50

Sebelum ini telah ditetapkan bahawa trajektori gerakan relatif adalah garis lurus yang bertepatan dengan rod, dan gerakan ini ditentukan oleh persamaan. Trajektori pergerakan titik mudah alih M pada satu masa t– bulatan jejari .

Oleh itu kelajuan relatif ialah . Dan ia diarahkan secara tangen ke trajektori sepanjang rod (Rajah 50). Kelajuan pemindahan gelang, seperti semasa berputar mengelilingi paksi, ialah . Vektor halaju ini diarahkan secara tangen ke trajektori pergerakan mudah alih, berserenjang dengan rod.

Kelajuan mutlak cincin. Saiznya, kerana

23.Teorem penambahan pecutan. Pecutan Coriolis.

Pecutan gerakan majmuk suatu titik M, atau pecutan mutlak titik ini, jelas sama dengan terbitan kelajuan mutlak titik M pada masa t

Oleh itu, membezakan kesamaan berkenaan dengan masa, kita perolehi

Mari kita bahagikan istilah di sebelah kanan persamaan ini kepada tiga kumpulan.

Kumpulan pertama termasuk istilah yang mengandungi hanya terbitan koordinat relatif x,y Dan z, tetapi tidak mengandungi derivatif vektor:

Kumpulan kedua termasuk istilah yang mengandungi hanya terbitan vektor, tetapi tidak mengandungi terbitan koordinat relatif x,y,z:

Terdapat satu lagi kumpulan istilah yang tinggal yang tidak boleh diklasifikasikan sebagai yang pertama atau kedua, kerana ia mengandungi terbitan semua pembolehubah x,y,z, . Mari kita nyatakan kumpulan istilah ini dengan:

Setiap kumpulan yang dipilih mewakili, sekurang-kurangnya dalam dimensi, beberapa pecutan. Jom ketahui maksud fizikal ketiga-tiga pecutan: .

Pecutan, seperti yang dapat dilihat dari kesamaan, dikira seolah-olah koordinat relatif x,y,z berubah dari semasa ke semasa, tetapi vektor kekal tidak berubah, i.e. bingkai rujukan bergerak Oxyz nampaknya sedang berehat, tetapi period M tergerak. Oleh itu, pecutan ialah pecutan relatif titik M. Oleh kerana pecutan (dan kelajuan) gerakan relatif dikira di bawah andaian bahawa kerangka rujukan bergerak berada dalam keadaan rehat, maka untuk menentukan pecutan relatif (dan kelajuan) anda boleh menggunakan semua peraturan yang ditetapkan sebelum ini dalam kinematik sesuatu titik. .

Pecutan, seperti yang boleh dilihat daripada kesamaan, dikira di bawah andaian bahawa titik itu sendiri M berada dalam keadaan rehat berkenaan dengan kerangka rujukan yang bergerak Oxyz(x=const, y=const, z=const) dan bergerak bersama sistem rujukan ini berhubung dengan sistem rujukan pegun. Oleh itu, pecutan ialah pecutan mudah alih bagi titik M.

Kumpulan istilah ketiga menentukan pecutan, yang tidak boleh dikaitkan dengan pecutan relatif, kerana ia mengandungi dalam derivatif ungkapannya bukan kepada pecutan mudah alih, kerana ia mengandungi dalam derivatif ungkapannya

Marilah kita mengubah bahagian kanan kesaksamaan, mengingatinya

Menggantikan nilai derivatif ini ke dalam kesamaan, kita dapat

Di sini vektor ialah kelajuan relatif titik M, Itulah sebabnya

Pecutan dipanggil Pecutan Coriolis. Disebabkan fakta bahawa pecutan Coriolis muncul dalam kes putaran kerangka rujukan bergerak, ia juga dipanggil pecutan putaran.

Dari sudut fizikal, penampilan pecutan putaran sesuatu titik dijelaskan oleh pengaruh bersama pergerakan mudah alih dan relatif.

Jadi, pecutan Coriolis titik adalah sama dalam magnitud dan arah kepada dua kali ganda hasil vektor halaju sudut gerakan mudah alih dan kelajuan relatif titik itu.

Persamaan yang kini boleh disingkatkan sebagai

membentangkan teorem untuk penambahan pecutan dalam kes apabila pergerakan translasi adalah sewenang-wenangnya: pecutan mutlak titik adalah sama dengan jumlah vektor bagi pecutan translasi, relatif dan putaran. Teorem ini sering dipanggil teorem Coriolis.

Daripada formula ia mengikuti bahawa modulus pecutan putaran akan menjadi

di manakah sudut antara vektor dan vektor . Untuk menentukan arah pecutan putaran, anda perlu memindahkan vektor secara mental ke titik M dan berpandukan peraturan algebra vektor. Mengikut peraturan ini, vektor mesti diarahkan berserenjang dengan satah yang ditakrifkan oleh vektor dan , dan supaya, melihat dari hujung vektor, pemerhati boleh melihat pusingan terpendek dari ke berlaku lawan jam (Rajah 30). pada masa tertentu dalam masa menjadi sifar.

Di samping itu, pecutan putaran sesuatu titik jelas boleh hilang jika:

a) vektor halaju relatif titik adalah selari dengan vektor halaju sudut putaran mudah alih, i.e. pergerakan relatif titik berlaku dalam arah selari dengan paksi putaran mudah alih;

b) titik tidak mempunyai pergerakan berbanding kerangka rujukan bergerak atau kelajuan relatif titik pada masa tertentu ialah sifar ().

Contoh 14. Biarkan badan berputar mengelilingi paksi tetap z. Satu titik bergerak melintasi permukaannya M(Gamb. 52). Sudah tentu, kelajuan pergerakan titik ini adalah kelajuan relatif, dan kelajuan putaran badan adalah kelajuan sudut pergerakan mudah alih.

Pecutan Coriolis diarahkan berserenjang dengan kedua-dua vektor ini, mengikut peraturan arah vektor hasil silang. Jadi, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 52.

Rajah 52

Tidak sukar untuk merumuskan peraturan yang lebih mudah untuk menentukan arah vektor: anda perlu mengunjurkan vektor halaju relatif pada satah berserenjang dengan paksi putaran mudah alih dan kemudian memutar unjuran ini 90 darjah dalam satah ke arah daripada putaran mudah alih. Kedudukan akhir unjuran vektor akan menunjukkan arah pecutan Coriolis. (Peraturan ini dicadangkan oleh N.E. Zhukovsky).

Contoh 15.(Mari kita kembali ke contoh 13). Mari kita cari pecutan mutlak cincin itu M

Pergerakan titik kompleks

Pergerakan badan dinilai dengan pergerakan setiap titiknya. Sebelum ini, kami menganggap pergerakan titik dalam sistem koordinat tertentu, yang secara konvensional diambil sebagai pegun. Walau bagaimanapun, dalam amalan, anda perlu menyelesaikan masalah di mana anda tahu bagaimana titik bergerak relatif kepada satu sistem koordinat dan anda perlu mengetahui bagaimana ia bergerak berbanding sistem koordinat lain, jika anda tahu bagaimana sistem koordinat ini bergerak relatif antara satu sama lain . Untuk menerangkan pergerakan titik, bergerak dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain, adalah perlu untuk menentukan bagaimana kuantiti yang mencirikan pergerakan titik dalam sistem ini berkaitan antara satu sama lain. Untuk tujuan ini, satu sistem koordinat diterima secara konvensional sebagai pegun, dan satu lagi sebagai bergerak, dan konsep pergerakan mutlak, relatif dan mudah alih sesuatu titik diperkenalkan.

Pergerakan mutlak– pergerakan titik dalam sistem koordinat tetap.

Gerakan relatif– pergerakan titik dalam sistem koordinat bergerak.

Pergerakan mudah alih– pergerakan ruang bergerak berbanding ruang tetap.

Masalah di mana gerakan translasi diberikan dan gerakan mutlak perlu ditemui dipanggil masalah pada pergerakan penambahan.

Dalam beberapa kes adalah perlu untuk menyelesaikan masalah songsang.

Dengan pilihan rasional sistem koordinat bergerak, selalunya mungkin untuk mengurangkan pergerakan mutlak kompleks titik kepada dua yang mudah: relatif dan kiasan. Masalah sebegini dipanggil masalah pada penguraian pergerakan.

sistem tetap koordinat dipanggil kelajuan mutlak Dan pecutan mutlak.

Kelajuan dan pecutan sesuatu titik berbanding dengan sistem mudah alih koordinat dipanggil kelajuan relatif Dan pecutan relatif.

Kelajuan mudah alih Dan pecutan mudah alih sesuatu titik bergerak dipanggil kelajuan mutlak dan pecutan mutlak itu titik ruang bergerak, yang mana titik bergerak bertepatan pada masa tertentu.

Semua keputusan yang diperoleh sebelum ini untuk halaju dan pecutan adalah terpakai sepenuhnya untuk gerakan relatif, kerana apabila memperolehnya kami tidak mengenakan sebarang sekatan ke atas pilihan sistem koordinat.

Hukum penambahan kelajuan

Hukum penambahan halaju menentukan hubungan antara halaju titik M dalam sistem koordinat tetap XYZ dan sistem koordinat mudah alih https://pandia.ru/text/78/244/images/image002_52.jpg" width="588" height="243">

– hukum penambahan halaju.

KINEMATIKA BADAN YANG BENAR-BENAR TEGAR

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan pergerakan secara mutlak padu(ATT). Badan tegar terdiri daripada bilangan mata yang tidak terhingga, bagaimanapun, seperti yang akan ditunjukkan kemudian, untuk menerangkan pergerakan ATT tidak perlu untuk menentukan pergerakan setiap titiknya.

Invarian jarak antara titik jasad tegar membawa kepada pergantungan antara halaju titik individu. Kebergantungan ini dinyatakan oleh teorem asas kinematik jasad tegar berikut: unjuran halaju mana-mana dua titik jasad tegar ke bahagian yang menghubungkannya adalah sama.

Untuk membuktikannya, pertimbangkan titik A dan B yang sewenang-wenangnya bagi jasad tegar.

Kedudukan titik A dan B dalam ruang akan ditentukan oleh vektor jejari dan https://pandia.ru/text/78/244/images/image007_36.gif" width="29" height="24 src=">, arah yang sedang berjalan pergerakan badan berubah, tetapi modul kekal malar (disebabkan jarak malar antara titik badan tegar ini boleh diwakili dalam bentuk Membezakan kesamaan ini berkenaan dengan masa). , kami memperolehi.

. (2.1)

Untuk menentukan vektor, ambil perhatian bahawa , di mana AB modulus vektor. Kerana AB tidak berubah mengikut masa, maka, membezakan kesamarataan ini berkenaan dengan t, kita mendapatkan:

,

i.e..gif" width="29" height="24 src="> diarahkan berserenjang dengan vektor itu sendiri:

Kini mereka bentuk setiap bahagian kesamaan (2..gif" width="37" height="24"> – ex.=0

,

yang membuktikan teorem yang dirumuskan.

Gerakan translasi badan tegar

Mari kita pertimbangkan dahulu kes gerakan mudah - gerakan translasi jasad tegar dan putaran jasad tegar.

Jenis gerakan yang paling mudah bagi jasad tegar ialah satu di mana vektor halaju bagi tiga titiknya yang tidak terletak pada garis lurus yang sama adalah sama antara satu sama lain pada setiap saat masa. Mari kita tentukan kedudukan titik-titik ini pada satu ketika menggunakan vektor jejari:

https://pandia.ru/text/78/244/images/image020_14.gif" width="263 height=43" height="43">

Oleh itu, vektor adalah bebas daripada masa dan oleh itu bergerak di angkasa sambil kekal selari dengan diri mereka sendiri. Tiga titik jasad tegar mentakrifkan sistem koordinat jelas berkaitan dengan jasad tegar. Dalam kes yang sedang dipertimbangkan, pergerakan akan sedemikian rupa sehingga paksi akan bergerak sambil kekal selari dengan diri mereka sendiri. Tetapi ini bermakna bahawa mana-mana garis lurus yang ditarik masuk badan padat, kekal selari dengan dirinya semasa pergerakan. Pergerakan sedemikian dipanggil translasi (contohnya, pergerakan kabin dalam tarikan roda Ferris).

Marilah kita memilih dua titik sewenang-wenangnya A dan B dalam jasad tegar yang bergerak secara translasi.

Semasa pergerakan ke hadapan ATT

(2.2)

Kerana ia maka (2.2) akan mengambil bentuk:

Mata A dan B dipilih secara rawak. Akibatnya: semasa gerakan translasi, semua titik jasad tegar mempunyai vektor halaju yang sama pada bila-bila masa tertentu.

Membezakan persamaan berkenaan dengan masa (2..gif" width="56" height="24"> (2.4)

Mata A dan B dipilih secara rawak. Oleh itu: titik jasad tegar yang bergerak secara translasi mempunyai pecutan yang sama pada setiap saat masa tertentu.

Oleh kerana trajektori titik A dan B adalah kongruen, iaitu mereka. boleh digabungkan antara satu sama lain apabila bertindih. Oleh itu, trajektori yang diterangkan oleh titik-titik jasad tegar yang bergerak secara translasi adalah sama dan terletak sama.

Daripada keputusan yang diperoleh kita boleh membuat kesimpulan: untuk menerangkan gerakan translasi jasad tegar, ia cukup untuk menyatakan gerakan hanya satu daripada titiknya.

Putaran badan tegar

Putaran jasad tegar ialah sejenis gerakan di mana sekurang-kurangnya satu titik jasad tegar kekal tidak bergerak. Mari kita pertimbangkan, bagaimanapun, kes yang lebih mudah - putaran ATT di sekeliling paksi tetap.

Putaran jasad yang benar-benar tegar mengelilingi paksi tetap

Mari kita betulkan dua titik ATT:. Mari kita pertimbangkan bagaimana semua titik jasad tegar akan bergerak dan pelajari cara menentukan halaju dan pecutan titik ini. Adalah jelas bahawa titik-titik badan tegar yang terletak pada garis lurus yang melalui dua titik tetap tidak akan bergerak: garis lurus ini dipanggil pegun paksi putaran. Pergerakan jasad tegar, di mana sekurang-kurangnya dua titiknya tidak bergerak, dipanggil putaran ATT mengelilingi paksi tidak bergerak.

Jelaslah bahawa titik yang tidak terletak pada paksi putaran menggambarkan bulatan yang pusatnya terletak pada paksi putaran. Satah di mana bulatan tersebut terletak berserenjang dengan paksi putaran. Akibatnya: kita tahu trajektori semua titik badan. Ini membolehkan anda mula mencari kelajuan mana-mana titik pada badan tegar.

Dengan cara semula jadi untuk menentukan pergerakan titik:

Marilah kita memilih sistem rujukan tetap, paksi 0 Z yang bertepatan dengan paksi putaran. Sudut antara satah tetap X0Z, melalui paksi putaran dan satah bersambung tegar kepada badan tegar dan melalui paksi putaran, dilambangkan dengan https://pandia.ru/text/78/244/images/image036_12.gif" width="73 " height="31 ">. Pertimbangkan pergerakan titik M sepanjang bulatan berjejari R.

; ; https://pandia.ru/text/78/244/images/image040_13.gif" width="20" height="26 src="> adalah malar:

Menggantikan (2.6) kepada (2.5) kita mendapat:

Formula ini menyusahkan kerana ia termasuk vektor unit https://pandia.ru/text/78/244/images/image044_12.gif" width="14" height="18 src=">. Ia mesti disertakan dalam formula untuk kelajuan Untuk melakukan ini, kami akan melakukan transformasi berikut:

menggunakan itu, kita menulis semula hubungan (2.7) dalam bentuk

(2.8)

Mari kita nyatakan:

– tidak bergantung pada pilihan titik M yang dipertimbangkan; (2.9)

– vektor yang dilukis dari pusat bulatan ke titik M. (2.10)

Jelas bahawa modulus adalah sama dengan jejari bulatan.

Mari kita gantikan (2.9) dan (2.10) kepada (2.8):

https://pandia.ru/text/78/244/images/image051_11.gif" width="91" height="27"> (2.12)

Arah bertepatan dengan arah vektor sentuhan unit https://pandia.ru/text/78/244/images/image054_10.gif" width="64" height="29"> – kelajuan linear titik M. (2.13)

– halaju sudut. (2.14)

Halaju sudut adalah nilai yang sama untuk semua titik jasad tegar.

Halaju linear mana-mana titik jasad tegar berputar mengelilingi paksi tetap adalah sama dengan hasil vektor halaju sudut ATT oleh vektor jejari yang ditarik dari titik arbitrari paksi putaran, kami akan mengembangkannya https:/ /pandia.ru/text/78/244/images/image057_9.gif "width="145" height="29">. (2.15)

Membandingkan (2.15) dan (2.14) kita dapat:

;

Modulus halaju sudut berkaitan dengan kekerapan putaran jasad yang benar-benar tegar:

Apabila jasad berputar, halaju sudutnya boleh berubah; adalah perlu untuk dapat menentukan halaju sudut jasad pada bila-bila masa. Untuk tujuan ini, nilai telah diperkenalkan yang mencirikan perubahan halaju sudut dari semasa ke semasa. Kuantiti ini dipanggil pecutan sudut.

Mari kita berikan definisi pecutan sudut.

Biarkan seketika t halaju sudut. Dan pada masa yang sama t+∆t halaju sudut adalah sama dengan . Mari kita bentukkan nisbah perubahan halaju sudut kepada tempoh masa semasa perubahan ini berlaku, dan cari had nisbah ini pada ∆ t→ 0. Dalam mekanik had ini dipanggil pecutan sudut badan dan oleh itu menandakan:

.

Pecutan sudut adalah nilai yang sama untuk semua titik jasad tegar.

Unit ukuran untuk pecutan sudut ialah https://pandia.ru/text/78/244/images/image068_7.gif" width="273" height="48">.

Untuk pecutan sudut, unjurannya ke paksi 0 Z, modulus pecutan sudut, hubungan berikut adalah sah:

(2.16)

Mari kita tulis semula ungkapan untuk pecutan titik:

(2.17)

Pecutan tangen bagi mana-mana titik jasad tegar yang berputar mengelilingi paksi tetap adalah sama dengan hasil vektor pecutan sudut jasad dan jejari - vektor titik ini yang dilukis dari titik sembarangan pada paksi putaran.

Putaran jasad tegar dengan pecutan sudut malar

Mari kita lihat bagaimana persamaan kinematik pergerakan badan ditulis semasa pergerakan ini. Pertama, kita memperoleh formula yang dalam kes ini kita boleh mencari halaju sudut badan. Mari kita arahkan paksi 0 Z sepanjang paksi putaran badan.

Sejak itu, kemudian https://pandia.ru/text/78/244/images/image078_5.gif" width="98" height="54"> (sejak) Pergerakan putaran(fizik)" href="/text/category/vrashatelmznie_dvizheniya__fizika_/" rel="bookmark">gerakan putaran mengelilingi tiang dengan halaju sudut bebas daripada pilihan tiang.

Ia boleh ditunjukkan bahawa kelajuan mana-mana titik badan berbanding dengan sistem koordinat tetap adalah sama dengan:

– pecutan sudut putaran badan berbanding kutub.

Hukum penambahan pecutan

Formula yang menyatakan hukum penambahan pecutan dalam gerakan kompleks dipanggil formula Coriolis, dan fakta yang dinyatakan ialah teorem Coriolis. Menurut teorem ini, pecutan mutlak titik adalah sama dengan jumlah tiga vektor: vektor pecutan relatif, vektor pecutan pemindahan dan vektor yang mewakili pecutan putaran atau Coriolis:

(2.21)

Ia muncul disebabkan oleh dua sebab yang tidak diambil kira oleh pecutan relatif dan mudah alih: ia tidak mengambil kira perubahan arah kelajuan relatif dalam ruang pegun disebabkan oleh putaran sistem koordinat bergerak dalam gerakan mudah alih. tidak mengambil kira perubahan dalam kelajuan mudah alih yang terhasil daripada peralihan titik bergerak dari satu titik dalam pergerakan ruang ke ruang yang lain (peralihan ini disebabkan oleh gerakan relatif).

Dalam kes berikut:

PERGERAKAN KOMPLEKS TITIK

§ 1. Pergerakan mutlak, relatif dan mudah alih sesuatu titik

Dalam beberapa kes, adalah perlu untuk mempertimbangkan pergerakan titik berhubung dengan sistem koordinat O 1 ξηζ, yang seterusnya, bergerak berhubung dengan sistem koordinat lain Oxz, diterima secara konvensional sebagai pegun. Dalam mekanik, setiap sistem koordinat ini dikaitkan dengan badan tertentu. Sebagai contoh, pertimbangkan untuk bergolek tanpa menggelongsor roda kereta di atas rel. Kami menyambungkan sistem koordinat tetap Ax dengan rel, dan menyambungkan sistem bergerak Oξη dengan pusat roda dan menganggap bahawa ia bergerak secara translasi. Pergerakan titik pada rim roda adalah kompaun atau kompleks.

Mari kita perkenalkan definisi berikut:

1. Pergerakan titik relatif kepada sistem koordinat Oxyz (Rajah 53) dipanggil mutlak.

2. Pergerakan titik berbanding sistem koordinat bergerak O 1 ξηζ dipanggil berpenghuni.

3. Pergerakan translasi titik ialah pergerakan titik jasad yang dikaitkan dengan sistem koordinat bergerak O 1 ξηζ, berbanding dengan sistem koordinat tetap yang mana titik bergerak yang dimaksudkan pada masa ini bertepatan.

Oleh itu, gerakan mudah alih disebabkan oleh pergerakan sistem koordinat bergerak berhubung dengan yang tetap. Dalam contoh yang diberikan dengan roda, pergerakan mudah alih titik pada rim roda adalah disebabkan oleh pergerakan translasi sistem koordinat O 1 ξηζ berhubung dengan sistem koordinat tetap Axy.

Kami memperoleh persamaan gerakan mutlak titik dengan menyatakan koordinat titik x, y, z sebagai fungsi masa:

x=x(t), y = y(t), z = z(t).

Persamaan pergerakan relatif suatu titik mempunyai bentuk

ξ = ξ (t), η = η (t), ζ = ζ (t).

Dalam bentuk parametrik, persamaan (11.76) menyatakan persamaan trajektori mutlak, dan persamaan (11.77) - masing-masing, persamaan trajektori relatif.

Terdapat juga kelajuan mutlak, mudah alih dan relatif dan, sewajarnya, mutlak, mudah alih dan pecutan relatif mata. Kelajuan mutlak dilambangkan dengan υ a, saudara - υ r, mudah alih - υ e Oleh itu, pecutan dilambangkan dengan: ω a, ω r Dan ω e.

Tugas utama kinematik gerakan kompleks titik adalah untuk mewujudkan hubungan antara halaju dan pecutan titik dalam dua sistem koordinat: pegun dan bergerak.

Untuk membuktikan teorem mengenai penambahan halaju dan pecutan dalam gerakan kompleks titik, kami memperkenalkan konsep terbitan tempatan atau relatif.

Teorem penambahan halaju

Teorem . Dengan gerakan kompleks (komposit) sesuatu titik, kelajuan mutlaknya υ a sama dengan jumlah vektor relatif υ r dan mudah alih υ e kelajuan

Biarkan titik M membuat pergerakan serentak berhubung dengan sistem koordinat tetap dan bergerak (Rajah 56). Mari kita nyatakan halaju sudut putaran sistem koordinat Оξηζ dengan ω . Kedudukan titik M ditentukan oleh vektor jejari r.

Mari kita wujudkan hubungan antara halaju titik M berhubung dengan dua sistem koordinat - pegun dan bergerak. Berdasarkan teorem yang dibuktikan dalam perenggan sebelumnya

Daripada kinematik sesuatu titik diketahui bahawa terbitan pertama bagi vektor jejari bagi titik bergerak berkenaan dengan masa menyatakan kelajuan titik ini. Oleh itu = r = υ a- kelajuan mutlak, = υ r- kelajuan relatif,

A ω x r = υ e- kelajuan mudah alih titik M. Oleh itu,

υ a= υ r+υ e

Formula (11.79) menyatakan peraturan selari halaju. Kami mencari modulus halaju mutlak menggunakan teorem kosinus:

Dalam beberapa masalah kinematik, adalah perlu untuk menentukan kelajuan relatif υ r. Daripada (11.79) ia mengikuti

υ r= υ a +(- υ e).

Oleh itu, untuk membina vektor kelajuan relatif, anda perlu menambah secara geometri kelajuan mutlak dengan vektor sama dengan nilai mutlak, tetapi bertentangan arah dengan kelajuan pemindahan.

Rumusan umum masalah gerakan relatif adalah seperti berikut: gerakan titik ditentukan oleh pemerhati yang dikaitkan dengan dua sistem koordinat (sistem rujukan) yang berbeza, dan sistem ini bergerak dalam cara tertentu berbanding satu sama lain. Setiap pemerhati menentukan elemen kinematik pergerakan: trajektori, kelajuan dan pecutan dalam sistem rujukannya sendiri. Tugasan dikemukakan: mengetahui pergerakan satu sistem rujukan berhubung dengan sistem rujukan yang lain, cari kaitan antara elemen kinematik pergerakan titik berhubung dengan setiap sistem secara berasingan. Mari kita andaikan bahawa pergerakan titik M dalam ruang dianggap dalam dua sistem koordinat yang bergerak relatif antara satu sama lain: Oxyz, Dan (Gamb. 41). Bergantung pada kandungan tugas yang dihadapi oleh kami, salah satu daripada sistem ini Oxyz Marilah kita mengambilnya sebagai yang utama dan memanggilnya sebagai sistem mutlak dan semua elemen kinematiknya mutlak. Sistem lain Mari kita panggil ia relatif dan, dengan itu, pergerakan yang berkaitan dengan sistem ini, serta unsur kinematiknya, relatif. Istilah "mutlak" dan "relatif" mempunyai makna konvensional di sini; apabila mempertimbangkan pergerakan, mungkin dinasihatkan untuk mengambil yang pertama atau sistem lain sebagai mutlak. Unsur-unsur gerakan mutlak akan dilambangkan dengan subskrip " A ", dan relatif - dengan indeks " r ».

Mari kita perkenalkan konsep gerakan mudah alih, yang unsur-unsurnya akan dilambangkan dengan subskrip " e " Kami akan memanggil pergerakan mudah alih titik pergerakan (berkaitan dengan sistem mutlak) titik itu dalam sistem relatif yang melaluinya titik bergerak pada masa yang sedang dipertimbangkan. Konsep pergerakan mudah alih memerlukan penjelasan. Adalah perlu untuk membezakan dengan jelas titik, pergerakan mutlak dan relatif yang sedang dipertimbangkan, dari titik yang selalu dikaitkan dengan sistem relatif di mana titik bergerak sedang dilalui. Biasanya kedua-dua titik ditetapkan oleh huruf yang sama M, kerana lukisan tidak menyampaikan pergerakan; mereka sebenarnya adalah dua titik berbeza yang bergerak relatif antara satu sama lain.

Marilah kita memikirkan dua ilustrasi konsep gerakan mudah alih. Jika seseorang berjalan di atas platform yang bergerak, maka kita boleh mempertimbangkan, pertama, pergerakan "mutlak" orang itu berhubung dengan tanah, dan kedua, pergerakan "saudara"nya di sepanjang platform. Dalam kes ini, pergerakan mudah alih akan menjadi pergerakan yang berkaitan dengan tanah tempat platform yang sedang dilalui seseorang.

§ 2. 5. Pergerakan: mutlak, relatif, kiasan. Teorem Euler. Halaju sudut.

Sebagai tambahan kepada paksi tetap Oxyz (sistem S), kami memperkenalkan beberapa jasad tegar yang bergerak dan sistem paksi koordinat segi empat tepat O'x'y'z' (sistem S') yang selalu dikaitkan dengannya.

Pergerakan titik relatif kepada sistem bergerak paksi S’ dipanggil pergerakan relatif.

Pergerakan titik relatif kepada paksi tetap S dipanggil pergerakan mutlak.

Pergerakan mudah alih titik di atas selang masa (t,t+Dt) ialah pergerakan relatif kepada paksi S yang akan ada pada titik ini jika pada masa t dan untuk selang (t,t+Dt) ia sentiasa disambungkan dengan sistem paksi yang bergerak. dan, oleh itu, akan bergerak bersama-sama dengan sistem ini.

Trajektori, kelajuan dan pecutan dipanggil mutlak, relatif atau mudah alih, bergantung kepada sama ada ia berkaitan dengan gerakan mutlak, relatif atau mudah alih.

Teorem Euler: Jika, berbanding sistem S, sistem S" mempunyai satu titik tetap, maka pergerakan S" dari satu kedudukan sewenang-wenang ke mana-mana yang lain boleh dicapai dengan satu putaran melalui sudut tertentu berbanding dengan paksi yang melalui titik tetap ini.

Untuk membuktikannya, sudah cukup untuk menunjukkan kemungkinan terjemahan dengan satu pusingan arka, sebagai contoh, .

		Mari kita lukis dua khatulistiwa: a, berserenjang dengan titik tengah x 1 "x 2", dan b, berserenjang dengan titik tengah z 1 "z 2". Kami mendapat dua titik persilangan khatulistiwa ini - c dan d. Dx 1"z 1"d = Dz 2"x 2"d (sejak x 1 "z 1 " = x 2 "z 2 ", dan x 1 "d = x 2 "d disebabkan oleh fakta bahawa titik d terletak pada khatulistiwa berserenjang dengan titik tengah x 1 "x 2", z 1 "d = z 2" d atas sebab yang sama) Oleh itu, Ðx 1 "dz 1" = Ðz 2 "dx 2" dan sudut antara lengkok x 1 "d dan x 2" d adalah sama dengan sudut di antara lengkok z 1 "d dan z 2 "d, iaitu , anda perlu memutarkan x 1 " z 1 "relatif kepada paksi dO"c dengan sudut x 1 "dz 1" (atau sama dengannya z 2 "dx 2")

Teorem Euler adalah sah untuk kedua-dua putaran terhingga dan paling kecil. Walaupun boleh ada sebarang jujukan putaran tak terhingga, hasilnya akan sama, putaran terhingga yang sama tidak berulang-alik. Ini lebih benar untuk putaran yang sangat kecil, lebih dekat lengkok yang diterangkan oleh mana-mana titik dengan kord yang menghubungkan hujung lengkok.

Apabila mempertimbangkan masalah pergerakan badan dengan satu titik tetap, yang mempunyai kepentingan praktikal yang besar, tiga sudut Euler digunakan secara meluas untuk menentukan (membetulkan) kedudukan sistem S" berbanding S.

Persilangan satah O"xy dan O"x"y" memberikan garis lurus, yang dipanggil garis nod (ort garis nod - ). Sudut Euler pertama j ialah sudut antara paksi O"x dan garisan nod. Sudut kedua y ialah sudut antara garisan nod dan paksi O"x Sudut ketiga q ialah sudut antara O". paksi z dan O"z.

Ketiga-tiga sudut ini secara unik menentukan kedudukan sistem S" berbanding S

Oleh itu, dengan putaran tak terhingga sistem S" berbanding S dengan sudut dj, dy, dq (sesetengahnya mungkin sama dengan sifar), ia boleh digantikan dengan satu putaran dengan sudut dc di sekeliling paksi tertentu yang melalui titik O".

Mari kita perkenalkan vektor putaran tak terhingga sebagai pertimbangan:

(Di sini diarahkan sepanjang paksi putaran mengikut peraturan skru kanan)

Magnitud dan arah vektor dc boleh berubah semasa gerakan kompleks. Paksi itu dipanggil paksi putaran serta-merta. Mari lihat apa yang berlaku kepada vektor unit sistem S" apabila ia diputar mengikut sudut

§ 2. 6. Pergerakan titik kompleks.

Membezakan hubungan ini berkenaan dengan masa, kami memperoleh:

Kelajuan mutlak suatu titik (berbanding dengan sistem S),

Kelajuan asal S" berbanding S,

Ia bukan halaju titik M berbanding sistem S", kerana vektor unit sistem ini adalah fungsi masa.

,

menggunakan formula (2.5.1) kita akan mempunyai:

Sebutan terakhir bermakna terbitan diambil dengan vektor unit malar bagi sistem O’x’y’z’, .

Sekarang untuk kelajuan kami ada:

di sini v h adalah mudah alih, v adalah mutlak, v’ ialah kelajuan relatif titik, iaitu sambungan antara kelajuan ini diperolehi. Kelajuan pemindahan terdiri daripada dua istilah: yang pertama hadir jika kerangka rujukan bergerak bergerak secara translasi, yang kedua muncul jika kerangka rujukan bergerak berputar.

Untuk mendapatkan perkaitan antara pecutan, kami membezakan perhubungan bagi kelajuan berkenaan dengan masa:

Pecutan mutlak ialah pecutan asal koordinat S’ relatif kepada S.